Séries de Bertrand

Série de Bertrand

Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand la série à termes réels positifs suivante :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n^\alpha\,(\ln n)^\beta}$.

La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...$

Théorème de Bertrand —  Une série de Bertrand converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Cette condition nécessaire et suffisante est parfois résumée en : « le couple (α,β) est lexicographiquement postérieur à (1,1)». Cela se réfère à l'ordre lexicographique, adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.

• Exemple :

On sait que la série harmonique diverge, et que la série $\sum_{n\ge 1}{1 \over n^\alpha}$ converge si et seulement si α > 1 (série de Riemann). Bien sûr, si α > 1, ${1 \over n^\alpha}=o\left(\frac{1}{n}\right)$, cependant il existe des séries dont le terme général est négligeable devant $\frac{1}{n}$ mais qui divergent.

La série de Bertrand permet alors d'exhiber un contre-exemple à l'implication erronée suivante : $(u_n)_{n\in\N}=o\left(\frac{1}{n}\right)\Rightarrow \sum_{n\in\N} u_n$ converge. La « (1,1)-série de Bertrand », ie la série :

$\sum_{n\ge 2}{1 \over n\,\ln n}$

est divergente, d'après la proposition, alors que ${1 \over n\,\ln n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$.

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