Suite arithmético-géométrique

Suite arithmético-géométrique
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la moyenne arithmético-géométrique.

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Sommaire

Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple \R (corps des réels) ou  \mathbb C (corps des complexes). La suite (u_n)_{n \in \N} à valeur dans K est une suite arithmético-géométrique quand il existe a,b \in K tels qu'elle vérifie la relation de récurrence suivante au delà d'un certain rang n0:

\forall n\geq n_0,\ u_{n+1}=a u_n+b

Terme général

Cas a = 1

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

\forall n\ge n_0,\qquad u_n=u_{n_0}+(n-n_0)b.

Cas a ≠ 1

En posant

r =\frac b{1-a}

on a :

\forall n\ge n_0,\qquad u_n=a^{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r.

Somme des premiers termes

Si a ≠ 1, toujours en posant

 r=\frac{b}{1-a},

et en supposant n0 = 0 pour simplifier les notations, on a la formule suivante :

\sum_{i=0}^{n-1} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{1-a^{n}}{1-a} + nr\,.

(On la démontre en utilisant l'expression du terme général de la section précédente, et la somme des premiers termes d'une suite géométrique.)

Somme des termes consécutifs

Si a ≠ 1, toujours en posant

r=\frac{b}{1-a}

en admettant que n > p on a la formule suivante

\sum_{i=p}^{n} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{a^{p}-a^{n+1}}{1-a} + r(n+1-p)

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u_{n_0} - r (si a ≠ 1 et r=b/(1-a)).

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où | a | < 1. Dans ce cas, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc complètement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle). Exemple : apport de 10 et fuite de 5%, u_{n+1} = u_n+ 10 - \frac{5}{100} \times u_n

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : Rn + 1 = (1 + t)RnM

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors


\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}

De la relation

 (p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)
\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}

On déduit que :

p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,.

Comme d'autre part,

q_n = 1-p_n\,,

en remplaçant on obtient

 p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Suite arithmético-géométrique de Wikipédia en français (auteurs)

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