Suite geometrique


Suite geometrique

Suite géométrique

En mathématiques, on appelle suite géométrique une suite u définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de \ E appelé raison pour lequel :

\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} =q.u_n \,


On dit alors que les termes \ u_n sont en « progression géométrique ».

Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans E = \R ou \mathbb C.

Exemple Si la raison \ q=1,1 et \ u_0=10 :

  • \ u_1=11
  • \ u_2=12,1
  • \vdots

Sommaire

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 14C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 ans près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.
Si N est la quantité de 14C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de 14C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle Nn la quantité d'atomes 14C au bout de n périodes, la suite (Nn ) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple : Un capital C0 placé à 5% rapporte au bout d'un an 0,05 \times  C_0 d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital C_1 = 1,05\times C_0. En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1,05 car C_{n+1} = 1,05 \times C_n.

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si E est un corps et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de E de raison q\in E alors, pour tout n\in\mathbb N :

u_n = u_0 q^n\,

Plus généralement, si la suite est définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

u_n = u_p q^{n - p} \,

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u_{n_0} et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} par

u_n = u_{n_0} q^{n - n_0} \,

est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera u_{n_0} et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans \R.

  • si q < 0\, la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
  • si q \in ]0 ; 1[
    • si u_{n_0}> 0 la suite est décroissante positive
    • si u_{n_0}< 0 la suite est croissante négative
  • si q \in ]1 ; + \infty[
    • si u_{n_0}> 0 la suite est croissante positive
    • si u_{n_0}< 0 la suite est décroissante négative
  • si q = 1\, la suite est constante.

Convergence

Dans \R

  • si q < -1\,, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans \bar{\R} les valeurs d'adhérence sont + \infty et -\infty.
  • si q = - 1\,, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence u_{n_0} et - u_{n_0}
  • si |q| < 1\,, la suite converge vers 0
  • si q = 1\,, la suite est constante et converge vers u_{n_0}
  • si q > 1\,, la suite est divergente mais possède une limite égale à
    • + \infty pour u_{n_0}>0
    • - \infty pour u_{n_0}<0

Dans \mathbb{C}

  • si \left| q\right| <1, la suite converge vers 0.
  • si \left| q\right| >1, la suite est divergente.
  • si q = 1, la suite est constante et converge vers u_{n_0}.
  • si q \neq 1 et \left| q\right| = 1, la suite diverge.

Croissance comparée

Dans \R

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif, (1 + t )^n \geq 1 + nt ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement, pour t tendant vers 0, par un Équivalent (voir aussi Développement limité) et se note (1 + t)n~1 + nt (équivalent) ou (1 + t)n = 1 + tn + o(n) (développement limité sur t à l'ordre 1 en 0)

Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4

n suite arithmétique suite géométrique
0 1000 1000
1 1004 1004
2 1008 1008,016
3 1012 1012,048
4 1016 1016,1
5 1020 1020,2
6 1024 1024,2
7 1028 1028,3
8 1032 1032,5
9 1036 1036,6
10 1040 1040,7
11 1044 1044,9
12 1048 1049

Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre  \sqrt[12]{1+t}-1

Somme des termes

La valeur de la somme des termes d'une suite géométrique est démontrée dans le Livre IX des Éléments d'Euclide.

Si E = \R ou \mathbb C et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout n\in\mathbb N :

\sum_{p=m}^{p=n}u_p= \dfrac{u_m - u_{n+1}}{1 - q} = u_0\,q^m\,\dfrac{1 - q^{n+1-m}}{1 - q} pour q différent de 1
\sum_{p=m}^{p=n}u_p= (n-m+1) \, u_0 pour q = 1
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