Problème mal posé

Problème bien posé

Le terme mathématique de problème bien posé provient d'une définition de Hadamard. Il pensait que les modèles mathématiques de phénomènes physiques devraient avoir les propriétés suivantes :

1. Une solution existe
2. La solution est unique
3. La solution dépend de façon continue des données, pour une topologie raisonnable.

Exemples

Le problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace et l'équation de la chaleur avec des conditions initiales spécifiées. Ils peuvent être considérés comme des problèmes « naturels », dans le sens où il y a des processus physiques qui résolvent ces problèmes.

Au contraire, l'équation inversée de la chaleur, par laquelle on déduit une distribution passée de la température à partir des données finales, n'est pas bien posée puisque la solution est très sensible à des changements dans les données finales. Il est fréquent que les problèmes inverses ne soient pas bien posés. De tels problèmes de continuum doivent souvent être résolus de façon discrète (« discrétisés ») si l'on veut obtenir une solution numérique. Bien qu'en termes d'analyse fonctionnelle, ces problèmes soient typiquement continus, il peuvent s'avérer instables lorsqu'ils sont résolus avec une précision finie, ou avec des erreurs dans les données.

En mécanique des milieux continus un problème bien posé est un problème dans lequel le bord $\partial\Omega$ du milieu considéré admet une partition en deux ensembles $\partial_1\Omega$ et $\partial_2\Omega$ tels que sur le premier il n'y ait que des déplacements imposés et sur le second uniquement des efforts.

Si un problème de mécanique est bien posé, alors la solution en contrainte existe et est unique, mais la solution en déplacement peut ne pas être unique si des mouvements de corps rigides sont possibles.

De plus on peut aussi remarquer que la partition du bord peut se faire suivant les trois direction de l'espace, c’est-à-dire que sur une même partie du bord on peut imposer un déplacement et un effort si ces deux conditions concernent des direction orthogonales de l'espace.

Mesures et solutions

Le nombre conditionnel mesure à quel degré le problème est bien posé, pour les problèmes linéaires discrets.

Si un problème est bien posé, il y a de bonnes chances qu'une solution soit trouvée par un algorithme stable, sur un ordinateur. Sinon, il doit être reformulé pour traitement numérique. Typiquement, cela suppose des hypothèses supplémentaires, par exemple la régularité de la solution. Ce processus est connu sous le nom de régularisation Tychonoff.

Références

• Jacques Hadamard, Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique, Princeton University Bulletin, 1902, p. 49—52.

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