Equation de Laplace


Equation de Laplace

Équation de Laplace

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En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien mathématicien Pierre-Simon Laplace.

Introduite pour les besoins de la mécanique newtonienne, l'équation de Laplace apparait dans de nombreuses autres branches de la physique théorique : astronomie, électrostatique, mécanique des fluides, propagation de la chaleur, diffusion, mouvement brownien, mécanique quantique.

Toute fonction solution de l'équation de Laplace est dite harmonique.

Sommaire

Équation de Laplace à trois dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles ψ(x,y,z) qui vérifient l'équation aux dérivées partielles[1] du second ordre :

 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \ =   \ 0

Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel noté Δ et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :

 \Delta \psi \ = \ 0

Équation de Laplace à deux dimensions

En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 2, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à deux variables réelles V(x,y) qui vérifient :


\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \ = \ 0

On montre que toute fonction holomorphe donne des solutions de l'équation de Laplace à deux dimensions par leur partie réelle et par leur partie imaginaire ; de plus, ces solutions sont orthogonales en tout point.

Rappels sur les fonctions holomorphes

Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est holomorphe sur \mathbb C ; aussi le sont les fonctions trigonométriques et la fonction exponentielle. (Les fonctions trigonométriques sont en fait relativement proches de la fonction exponentielle puisqu'elles peuvent être définies à partir de celle-ci en utilisant les formules d'Euler).

  • La fonction logarithme est holomorphe sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs (on parle de "coupure").
  • La fonction racine carrée peut être définie par \sqrt{z} = e^{{1 \over 2} \ln{z}} et est ainsi holomorphe partout où la fonction logarithme l'est.
  • Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.
  • La fonction inverse z\mapsto 1/z est holomorphe sur \mathbb C^*.


Résultats sur l'équation de Laplace et les fonctions holomorphes

Premier théorème

Théorème — Toute fonction analytique est solution de l'équation de Laplace.

Démonstration

On introduit la variable complexe :z = x + iyi2 = − 1, et on définit la fonction holomorphe F(z). Par dérivation , on obtient que :

 \frac{\partial F}{\partial x} \ = \ \frac{\mathrm d F}{\mathrm dz} \ \frac{\partial z}{\partial x} \ = \ F'(z)

alors que :

 \frac{\partial F}{\partial y} \ = \ \frac{\mathrm dF}{\mathrm dz} \ \frac{\partial z}{\partial y} \ = \ i \ F'(z).

En dérivant une seconde fois, on obtient d'une façon similaire :

 \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ = \ F''(z)

alors que :

 \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ - \ F''(z)

La somme est nulle, donc la fonction holomorphe F est bien une solution de l'équation de Laplace :

  \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ 0

Remarque : la fonction holomorphe admet toujours une décomposition en partie réelle et partie imaginaire :

F(z) \ = \ V(x,y) \ + \ i \ \phi(x,y)

En annulant la partie réelle et la partie imaginaire séparément, on obtient deux équations de Laplace indépendantes :

  \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0

Second théorème

Théorème — Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ.

Démonstration

On peut écrire :

 \frac{\partial F}{\partial x}\ = \ F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}

et :

 \frac{\partial F}{\partial y} \ = \ i F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \  + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}

On en déduit :

  \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ = \ - \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}

soit finalement :

  \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ + \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \ = \ 0

On reconnait là le produit scalaire des deux vecteurs :

 \overrightarrow\operatorname{grad} \ (V) \cdot\overrightarrow\operatorname{grad} \ (\Phi) \ = \ 0

On en déduit que les courbes à « V(x,y) = constante » et « φ(x,y) = constante » sont perpendiculaires (transformation conforme). Ce qui fait que si « V(x,y) = constante » représente les courbes de même potentiel, alors « φ(x,y) = constante » représente les lignes de champ électrique en électrostatique

Équation de Poisson

Si le membre de droite est une fonction donnée f(x,y,z), on obtient l'équation de Poisson :

\Delta \varphi = f

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Notes

  1. Comme pour toute équation aux dérivées partielles, il faut en général spécifier des conditions aux limites pour que le problème soit mathématiquement « bien posé ». Il se peut cependant que le problème soit mal posé, bien que des conditions aient été fixées (par exemple, des conditions aux limites de Neumann sur l'entièreté du bord du domaine). Aucune condition initiale n'est nécessaire, en revanche.
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