Paradoxe de cantor

Paradoxe de cantor

Paradoxe de Cantor

Le paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un paradoxe de la théorie des ensembles dont l'argument a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890 (on le trouve dans une lettre à David Hilbert datée de 1897)[1]. Il est appelé ainsi par Bertrand Russell dans ses principles of mathematics de 1903. Le paradoxe énonce que l'existence d'un plus grand cardinal conduit à une contradiction. Dans une théorie des ensembles trop naïve, qui considèrerait que toute propriété définit un ensemble, ce paradoxe est bel et bien une antinomie, une contradiction déduite de la théorie, puisque le cardinal de la classe de tous les ensembles serait alors le plus grand cardinal. Mais ce n'en est pas une pour Cantor, qui n'a d'ailleurs jamais parlé de paradoxe. Pour lui, cela montre que le plus grand cardinal, s'il peut d'une certaine façon se définir, n'est pas un ensemble : reformulé en termes modernes et dans une théorie des ensembles axiomatique que ne connaissait pas Cantor, la classe des cardinaux n'est pas un ensemble.

Sommaire

Le paradoxe

On peut déduire de deux façons le paradoxe. Pour toutes deux on utilise que tout ensemble a un cardinal et donc, implicitement, l'axiome du choix.

Paradoxe de Cantor et paradoxe de Russell

Pour Cantor tout ensemble pouvait être bien ordonné et avait un cardinal. Mais on peut éliminer tout appel à la notion de cardinal, et donc à l'axiome du choix dans le second raisonnement. Soit V la classe de tous les ensembles (dont le cardinal serait naturellement le plus grand cardinal). Si V est un ensemble, son ensemble des parties P(V) également. Donc P(V) ⊂ V, l'identité définit une injection de P(V) dans V et contredit le théorème de Cantor. On a en fait montré que la classe de tous les ensembles n'est pas un ensemble.

Sous cette forme, il est très proche du paradoxe de Russell, et celui-ci a d'ailleurs déclaré[3] qu'il était arrivé à son paradoxe en analysant la preuve du théorème de Cantor. En adaptant la démonstration du théorème de Cantor à ce cas particulier, on construit une réciproque à gauche f de l'identité de P(V) dans V, et on considère l'ensemble {xV | xf(x)}, dont l'intersection avec P(V) est {xP(V) | xx}.

Le paradoxe de Russell a l'avantage d'être plus simple et de ne pas faire appel à l'ensemble des parties d'un ensemble, la seule propriété ensembliste est la compréhension non restreinte, qu'il utilise une seule fois, et qui est exactement la raison du paradoxe. Le paradoxe de Cantor utilise aussi la compréhension non restreinte, d'une façon analogue au paradoxe de Russell qui n'est pas correcte dans les théories des ensembles usuelles à la ZFC, mais aussi quand il affirme que l'ensemble des parties d'un ensemble est un ensemble, ce qui y est par contre licite (c'est l'axiome de l'ensemble des parties).

Versions positives du paradoxe

On peut interpréter le paradoxe de Cantor dans la théorie des ensembles usuelle, pour montrer suivant les versions que la classe des cardinaux n'est pas un ensemble, ou que la classe V de tous les ensembles n'est pas un ensemble. Ceci est compatible avec l'analyse de Cantor (pour plus de détails voir l'article sur le paradoxe de Burali-Forti).

Notes

  1. voir référence, Georg Cantor Briefe pp 388-389.
  2. Cantor donne cet argument dans sa lettre à Dedekind de 1899, traduite dans les ouvrages de van Heijenoort (anglais) et de Cavaillès (français) en référence, voir également la préface de van Heijenoort, même ouvrage.
  3. dans The principles of mathematics

Articles connexes

Références

  • (de)Georg Cantor Briefe, Herbert Meschkowski et Winfried Nilson (ed.), Springer 1991 ISBN 3-540-50621-7.
  • (en) A source Book in Mathematical Logic 1879-1931, Heijenoort J. van (ed.), (Harvard Univ. Press, Cambridge, 1967), ISBN 0-674-32450-1, ISBN 0-674-32449-8.
  • (en) Bertrand Russell (1903), The principles of mathematics,§§ 346-347, vol 1, Cambridge Univ. Press (version en ligne disponible, incomplète au 4 janvier 2007), en fac simile sur le site de l'université du Michigan.
  • Bertrand Russell (1906), Les paradoxes de la logique, revue de métaphysique et de morale 14, VOL 5, pp627-650 (1906) ; accessible sur le site de la BNF, au format "image" [1] (24 pages).
  • Jean Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann 1962, contient, entre autres, les Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles de 1938, et une traduction de la correspondance Dedekind-Cantor qui avait été rassemblée et publiée par Jean Cavaillès et Emmy Noether en 1937.
  • Philippe de Rouilhan, Russell et le cercle des paradoxes, Puf, coll. Épiméthée, 1996 pp.23-26.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Paradoxe de Cantor ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Paradoxe de cantor de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Paradoxe de Cantor — Le paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un paradoxe de la théorie des ensembles dont l argument a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890 (on le trouve dans une lettre à David Hilbert datée de 1897)[1]. Il est… …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de burali-forti — En mathématiques le paradoxe de Burali Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est à dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de russell — Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle ci. Il… …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de richard — Le paradoxe de Richard apparaît dans une théorie des ensembles qui n est pas suffisamment formalisée. Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du XXe siècle, et a suscité depuis …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de berry — Le paradoxe de Berry a été formulé par Bertrand Russell en 1906. On le trouve dans un article, paru en français cette même année, de la Revue de métaphysique et de morale. Russell introduit, dans une discussion à propos du paradoxe de Richard, le …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de Burali-Forti — En mathématiques le paradoxe de Burali Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est à dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de Russell — Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle ci. Il… …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de Richard — Le paradoxe de Richard apparaît dans une théorie des ensembles qui n est pas suffisamment formalisée. Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du XXe siècle, et a suscité depuis …   Wikipédia en Français

  • Cantor — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Pour l’article homophone, voir Kantor (homonymie). Sur les autres projets Wikimedia : « Cant …   Wikipédia en Français

  • Paradoxe de Berry — Le paradoxe de Berry a été formulé par Bertrand Russell en 1906. On le trouve dans un article, paru en français cette même année, de la Revue de métaphysique et de morale. Russell introduit, dans une discussion à propos du paradoxe de Richard, le …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”