Opération extérieure

Loi de composition externe

En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.

Définition

Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :

• une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
• une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .

Principales propriétés

Propriétés simples

Soit un ensemble E muni d'une loi externe « . » à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).

• la loi « . » est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E

ou :

- pour une relation à gauche :

$\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \epsilon . x = x \,$

- et à droite :

$\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \epsilon = x \,$

• la loi « . » est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même

ou :

- pour une relation à gauche :

$\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ \lambda . a = a \,$

- et à droite :

$\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ a . \lambda = a \,$

• la loi « . » est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E

ou :

- pour une relation à gauche :

$\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \omega . x = a \,$

- et à droite :

$\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \omega = a \,$

• la loi « . » est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux

ou :

- pour une relation à gauche :

$\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,$

- et à droite :

$\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,$

• la loi « . » est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux

ou :

- pour une relation à gauche :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,$

- et à droite :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,$

• la loi « . » est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.

Propriétés relatives à une loi interne

• la loi « . » est exo-associative par rapport à une loi interne « $* \,$ » de S si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « . » d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi « $* \,$ »

ou :

- pour une relation à gauche :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda * \mu ) . x \,$

- et à droite :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu * \lambda ) \,$

• la loi « . » est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne « $\bot \,$ » de E si tout composé par la loi « . » d'un scalaire avec le composé par la loi « $\bot \,$ » de deux éléments de E est égal au composé par la loi « $\bot \,$ » des deux composés par la loi « . » de ces éléments de E avec le scalaire précédent

ou :

- pour une relation à gauche :

$\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \,$

- et à droite :

$\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,$

• la loi « . » est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne « $\top \,$ » de S relativement à une autre loi interne « $\bot \,$ » de E si tout composé par la loi « . » d'un élément de E avec le composé par la loi « $\top \,$ » de deux scalaires est égal au composé par la loi « $\bot \,$ » des deux composés par la loi « . » de l'élément de E avec chaque scalaire

ou :

- pour une relation à gauche :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \,$

- et à droite :

$\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,$

Voir aussi

• Loi de composition

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