Mouvement parabolique

Trajectoire parabolique

Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.

Le mouvement parabolique s'effectue lorsqu'un projectile est soumis à une vitesse initiale et à la seule accélération de la pesanteur. Un exemple courant de mouvement parabolique est l'obus tiré depuis un canon.

La découverte de la trajectoire parabolique est attribuée à Galilée en 1638. Certains historiens des sciences pensent qu'il a été largement influencé par les artistes de son époque qui savaient représenter la trajectoire de l'eau des fontaines.^[1]

Exemples

Lorsqu'on lance un objet en l'air, hormis le cas où il a été lancé rigoureusement à la verticale vers le haut, sa trajectoire est une courbe que l'on peut assimiler à une parabole. Par exemple, le tir d'un boulet de canon ou d'une boule de pétanque décrit une trajectoire quasi-parabolique. Les comètes passent au voisinage du Soleil ou de la Terre sur une orbite " parabolique ". Si un avion effectue une trajectoire parabolique, alors les passagers embarqué se trouvent en impesanteur.

Étude de la trajectoire d'un projectile

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique (balistique).

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point (x₀, y₀, z₀) avec une vitesse initiale : $\vec V_0=\begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix}$

On suppose ici qu'il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe $\vec y$, tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumis le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air). La seule accélération imprimée au corps est donc l'accélération de la pesanteur.

$\vec a = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -g \end{pmatrix}$

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

$\vec V = \begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\,t+C3 \end{pmatrix}$

C1, C2 et C3 sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales. En effet à t = 0, $\vec V = \vec V_0$, soit $\begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\times 0+C3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix}$,

d'où C1 = V_x, C2 = 0 et C3=V_z.

On a donc

$\vec V(t) = \begin{pmatrix}V_x \\ 0 \\ -g\,t+V_z \end{pmatrix}$

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

$\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}V_x\,t+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+C6 \end{pmatrix}$

C4, C5 et C6 sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

A t = 0, $\overrightarrow{OM}(0)= \overrightarrow{OM_0}$

Donc $\begin{pmatrix}V_x\times 0+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\times 0^2+V_z\times 0+C6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}.$
d'où $\overrightarrow{OM}(t) = \begin{pmatrix}V_x\,t+x_0 \\ y_0 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+z_0 \end{pmatrix}$

Équation de la trajectoire

On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l'expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit $t={x-x_0 \over V_x}$

On obtient donc : $z(x) = - {1 \over 2}\,g\,\left({x-x_0 \over V_x}\right)^2+V_z\,{x-x_0 \over V_x}+z_0$

$z(x) = -{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x^2+\left({V_z \over V_x } + {g \over V_x^2}x_0\right)\,x-{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x_0^2-{V_z \over V_x}\,x_0+z_0$

L'équation de ce mouvement indique bien la parabole qui donne son nom à ce mouvement. Cette équation permet aussi de retirer plusieurs informations utile comme par exemple les endroits ou le projectile touche le sol (résoudre l'équation z(x) = 0 ).

Graphique

Ici φ est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale :
$\phi = arctan(\frac{V_y}{V_x})$

Notes et références de l'article

1. ↑ Le boulet de canon de Galilée

Voir aussi

Articles connexes

• Balistique
• Chute libre (physique)
• Parabole de sûreté
• Portée

Liens et documents externes

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