Trajectoire parabolique


Trajectoire parabolique

Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.

Le mouvement parabolique s'effectue lorsqu'un projectile est soumis à une vitesse initiale et à la seule accélération de la pesanteur. Un exemple courant de mouvement parabolique est l'obus tiré depuis un canon.

Galilée en 1638 est un des premiers à développer cette théorie (il fallait s'abstraire de la résistance de l'air). Torricelli poursuivra.

Sommaire

Exemples

Lorsqu'on lance un objet en l'air, hormis le cas où il a été lancé rigoureusement à la verticale vers le haut, sa trajectoire est une courbe que l'on peut assimiler à une parabole. Par exemple, le tir d'un boulet de canon ou d'une boule de pétanque décrit une trajectoire quasi-parabolique. Les comètes passent au voisinage du Soleil ou de la Terre sur une orbite " parabolique ". Si un avion effectue une trajectoire parabolique, alors les passagers embarqués se trouvent en impesanteur.

Étude de la trajectoire d'un projectile

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique (balistique).

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point (x0, y0, z0) avec une vitesse initiale : \vec V_0=\begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix}

On suppose ici qu'il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe \vec y, tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumis le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air). La seule accélération imprimée au corps est donc l'accélération de la pesanteur.

\vec a = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -g \end{pmatrix}

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

\vec V = \begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\,t+C3 \end{pmatrix}

C1, C2 et C3 sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales. En effet à t = 0, \vec V = \vec V_0, soit \begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\times 0+C3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix},

d'où C1 = Vx, C2 = 0 et C3=Vz.

On a donc

\vec V(t) = \begin{pmatrix}V_x \\ 0 \\ -g\,t+V_z \end{pmatrix}

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}V_x\,t+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+C6 \end{pmatrix}

C4, C5 et C6 sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

A t = 0, \overrightarrow{OM}(0)= \overrightarrow{OM_0}

Donc \begin{pmatrix}V_x\times 0+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\times 0^2+V_z\times 0+C6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}.
d'où \overrightarrow{OM}(t) = \begin{pmatrix}V_x\,t+x_0 \\ y_0 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+z_0 \end{pmatrix}

Équation de la trajectoire

On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l'expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit t={x-x_0 \over V_x}

On obtient donc : z(x) = - {1 \over 2}\,g\,\left({x-x_0 \over V_x}\right)^2+V_z\,{x-x_0 \over V_x}+z_0

 z(x) =  -{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x^2+\left({V_z \over V_x } + {g \over V_x^2}x_0\right)\,x-{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x_0^2-{V_z \over V_x}\,x_0+z_0

L'équation de ce mouvement indique bien la parabole qui donne son nom à ce mouvement. Cette équation permet aussi de retirer plusieurs informations utile comme par exemple les endroits ou le projectile touche le sol (résoudre l'équation z(x) = 0 ).

  • L'équation se simplifie donc notablement si on choisit l'origine des axes au point de lancer :

 z(x) =  -{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x^2 + \frac{V_z}{V_x} \, x

  • Souvent la notation des artilleurs est utilisée : on appelle angle A de hausse du canon, l'angle que fait la trajectoire au départ avec l'horizontale. La vitesse au départ étant notée V0, alors Vx = V0.cos(A) et Vz = V0.sin(A). L'équation s'écrit alors :
z(x) = - \frac 1 2 \frac {g}{V_o^2} x^2 [ 1+ \tan^2(A)] + x.\tan(A)
  • Si l'artilleur désire atteindre une cible située en M(xo, zo), il devra régler la hausse du canon, c'est-à-dire choisir tan(A) ; comme il apparaît sur cette équation du second degré en tan(A), il y aura deux solutions, une solution double ou pas de solution ( voir parabole de sûreté).

Graphique

exemple d'un tir parabolique

Ici ϕ est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'horizontale :
\phi = arctan(\frac{V_y}{V_x})


Voir aussi

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Notes et références

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