Moment (mathematiques)

Moment (mathematiques)

Moment (mathématiques)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Moment.

En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,.

Sommaire

Notion de moment

La notion de moment en mathématiques, notamment en calcul des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction f : I \to \R continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de \R. Étant donné un entier naturel n, le n-ième moment de f est défini (sous réserve d'existence) par :

m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.

Remarque : pour un entier naturel n donné, l'ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d'ordre n existe est un espace vectoriel réel, et l'application m_n : f \mapsto m_n(f) est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Estimation des moments

Lorsque le moment existe, on utilise souvent l'estimateur suivant pour le moment d'ordre k:

\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!

à partir de l'échantillon X_1, X_2, \cdots, X_n.

On peut montrer que cet estimateur est sans biais.

Moments centrés

On définit le moment centré d'ordre n>0 d'une variable aléatoire X, s'il existe, le nombre \mu_n = \mathbb{E}[~(X-E(X))^n~] \,.

Moments remarquables

Certains moments sont connus sous un nom particulier. Ils sont utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire.

  • Le moment d'ordre un de la variable : \mu = \mathbb{E}[X] \, correspond à l'espérance
  • Le moment d'ordre deux de la variable centrée : \mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \, correspond à la variance.
  • Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite : \mu_4 =\mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \, correspond au kurtosis.

Formules de détermination récursive des moments

En définissant

  • Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):
m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[X^k\right]\,

.

  • Les moments centrés, notés généralement \mu_k(X)\, et qui se définissent ainsi :
\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]\,

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

\mu_2 = m_2 - m^2_1\,
\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2m^3_1\,
\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\,\!
et :
m_2 = \mu_2 + m^2_1\,
m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,
m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,

Fonction génératrice des moments

Article détaillé : Fonction génératrice des moments.

La fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X, définie par

M_X(t) = \mathbb{E}\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Problème des moments

On peut se demander si une fonction continue f : I \to \R dont tous les moments existent est déterminée par la suite de ses moments. Cette question est appelée problème des moments.

En d'autres termes : soient deux fonctions continues f, g : I \to \R dont chacune admet, pour tout entier naturel n, un moment d'ordre n. Si, pour tout n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g), peut-on affirmer que f = g ?

  • D'après un théorème de Hausdorff, la réponse est affirmative lorsque I est un segment [a,\, b] (c'est-à-dire lorsqu'il est fermé et borné).
  • Dans le cas général, la réponse est négative. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+ définie par f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2} (densité de la loi log-normale), dont tous les moments existent.
On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, \int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx  = 0.
Pour tout \alpha \in \R, on définit g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R par g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)].
Alors : quels que soient \alpha \in \R et n \in \mathbb{N}, mn(gα) = mn(f), bien que g_\alpha \neq f dès que \alpha \neq 0.


Nota : pour tout \alpha \in \R, \int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1 car m0(gα) = m0(f). Or, si on prend \alpha \in [-1,\, +1], gα est à valeurs positives : dans ce cas, gα est une densité de probabilité portée par \R^\star_+\,, distincte de f si \alpha \neq 0, dont tous les moments existent et sont les mêmes que ceux de f. Ceci prouve que la loi log-normale n'est pas déterminée par ses moments.


  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Moment (math%C3%A9matiques) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Moment (mathematiques) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Moment (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Moment. En probabilités (mathématiques, statistiques), on définit le moment d ordre n>0 d une variable aléatoire X, s il existe, le nombre . Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Moment — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Moment », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Sommaire …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES) — Les problèmes posés par l’enseignement des mathématiques ne sont pas nouveaux. Au début du siècle, Henri Lebesgue était préoccupé par les conditions de l’enseignement et de la formation des professeurs. Des efforts plus récents se sont déployés… …   Encyclopédie Universelle

  • MATHÉMATIQUES (FONDEMENTS DES) — Au sens premier et fort, le mot «fondement» désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d’énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. «Reposer sur la base» signifie ici «trouver en elle à… …   Encyclopédie Universelle

  • Moment Multipolaire — Les moments multipolaires sont les coefficients d un développement en série d un potentiel, utilisant de manière habituelle des puissance (ou des puissances inverses) de la distance à l origine, ainsi que de la dépendance angulaire. En principe,… …   Wikipédia en Français

  • MATHÉMATIQUES (ENSEIGNEMENT DES) — Les problèmes que pose tout enseignement sont extrêmement complexes; ils sont liés à l’état de la société, à sa structure, à son développement économique et technique et à l’idée qu’elle se fait de son avenir. Les aborder dans leur totalité et… …   Encyclopédie Universelle

  • Moment multipolaire — Les moments multipolaires sont les coefficients d un développement en série d un potentiel, utilisant de manière habituelle des puissance (ou des puissances inverses) de la distance à l origine, ainsi que de la dépendance angulaire. En principe,… …   Wikipédia en Français

  • Moment map — In mathematics, specifically in symplectic geometry, the momentum map (or moment map) is a tool associated with a Hamiltonian action of a Lie group on a symplectic manifold, used to construct conserved quantities for the action. The moment map… …   Wikipedia

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”