Algèbre de Banach

Algèbre de Banach
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

En mathématiques, l'algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).

Sommaire

Définition

Définition — Une algèbre de Banach (A,+,\cdot,\times,\|\;\|) sur le corps K =\R ou \C est une K-algèbre normée telle que l'espace vectoriel normé sous-jacent soit en outre un espace de Banach (i.e. un espace vectoriel normé complet).

Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité[1]. Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. En analyse fonctionnelle, une algèbre de Banach est dite unitaire lorsqu'il existe un élément neutre, nécessairement unique, e, et que la norme de e est 1.

On parle en outre d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.

Exemples

  • L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.
  • Si H est un espace vectoriel réel ou complexe normé complet, l'algèbre des opérateurs linéaires bornés (c'est-à-dire des endomorphismes réels ou complexes continus) de H est une algèbre de Banach réelle ou complexe (unitaire) pour la norme d'opérateurs correspondante, la somme et la composition d'opérateurs. Delà en découle la théorie de la représentation des algèbres de Banach.
  • L'exemple (précédent) concerne notamment les algèbres d'endomorphismes en dimension finie : en particulier, \mathbf {M_n(\R)} et \mathbf {M_n(\C)} sont des algèbres de Banach, pour une norme matricielle classique.
  • L'espace L1 des fonctions intégrables sur \R (modulo l'égalité presque partout) est une algèbre de Banach non unitaire relativement au produit de convolution. Dans la théorie de Riemann de l'intégration, cette algèbre est construite à unique isomorphisme près par complétion d'un espace raisonnable, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact, muni de la norme \mathbf L1.
  • Plus généralement, dans la théorie de Lebesgue, l'espace des fonctions intégrables sur un espace mesuré est un espace de Banach. La complétude demande une démonstration qui s'appuie sur un rapprochement entre convergence L1 et convergence presque partout.

Propriétés des algèbres unitaires

Soit A une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.

Propriétés de l'application de passage à l'inverse

Comme dans toute algèbre, les éléments inversibles de A forment un groupe. Tout élément x appartenant à la boule ouverte de centre e et de rayon 1 en fait partie, et son inverse peut être exprimé comme somme de la série géométrique de raison x.

\|x\|<1\Longrightarrow (e-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n

Le groupe G des éléments inversibles d'une algèbre de Banach est un ouvert.

L'application de passage à l'inverse est un homéomorphisme de G sur G, ce qui confère à G une structure de groupe topologique. Il s'agit même d'une application différentiable, la différentielle au point x étant donnée par la formule

d_x \mathrm{Inv} (h)=-x^{-1}hx^{-1}\,

L'hypothèse de complétude est essentielle et ces résultats tombent en défaut dans les algèbre normée non complète. Par exemple considérons l'algèbre des polynômes à coefficients réels \R[X] muni de n'importe quelle norme. Le groupe des inversibles est \R^* qui est inclus dans le sous-espace vectoriel strict \R de \R[X] et est donc d'intérieur vide ; il n'est donc pas ouvert. Ceci montre en particulier que \R[X] ne peut être muni d'une structure de \R-algèbre normée complète, résultat qui est aussi conséquence du théorème de Baire.

Idéaux et algèbre quotient

Les idéaux maximaux d'une algèbre de Banach sont fermés.

Une algèbre de Banach complexe dont tout élément non nul est inversible est isomorphe, par l'intermédiaire d'une isométrie, au corps des nombres complexes (théorème de Gelfand-Mazur); en particulier, les idéaux maximaux des algèbres de Banach complexes sont des hyperplans fermés. La commutativité est une conséquence du théorème.

Note

  1. Dans le tome II de ses Éléments d'analyse, Jean Dieudonné impose l'existence d'un élément neutre dans la définition d'une algèbre de Banach. Au contraire, N. Bourbaki ne le suppose pas[réf. souhaitée].

Articles connexes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre de Banach de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Algebre de Banach — Algèbre de Banach En mathématiques, l algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892 1945). Sommaire 1 Définition 1.1 Exemples 2 Propriétés des… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre De Banach — En mathématiques, l algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892 1945). Sommaire 1 Définition 1.1 Exemples 2 Propriétés des algèbres unit …   Wikipédia en Français

  • Algèbre de banach — En mathématiques, l algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892 1945). Sommaire 1 Définition 1.1 Exemples 2 Propriétés des algèbres unit …   Wikipédia en Français

  • Algebre stellaire — Algèbre stellaire Une algèbre stellaire ou C* algèbre est l objet d étude de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Gelfand et Segal. Les algèbres stellaires sont centrales dans l étude des représentations… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Stellaire — Une algèbre stellaire ou C* algèbre est l objet d étude de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Gelfand et Segal. Les algèbres stellaires sont centrales dans l étude des représentations unitaires de groupes… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre stellaire — Une algèbre stellaire ou C* algèbre est l objet d étude de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Gelfand et Segal. Les algèbres stellaires sont centrales dans l étude des représentations unitaires de groupes… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le mot « algèbre » vient de l arabe ’al ǧabr (« réduction »), désignant une technique de chirurgie des membres puis une technique de… …   Wikipédia en Français

  • Banach — Stefan Banach Buste de Stefan Banach à Cracovie Stefan Banach (1892 1945) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom aux espaces de Banach. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • ALGÈBRE — L’algèbre au sens moderne, à savoir l’étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s’est dégagée que très progressivement au cours du XIXe siècle, en liaison avec le mouvement général d’axiomatisation de… …   Encyclopédie Universelle

  • Algebre commutative — Algèbre commutative En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”