Homomorphisme de groupe

Morphisme de groupes

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure des groupes.

Plus précisément, si (G,*) et (G',$\star$) sont deux groupes de neutres respectifs e et e', une application $f : G \rightarrow G' \,$ est un morphisme du groupes lorsque :

$\forall (x,y) \in G^2, \; f(x*y)=f(x) \star f(y)$

Les deux propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :

• $f(e)=e' \,$

  $\forall x \in G,\; f(x^{-1})=[f(x)]^{-1} \,$

On dit que f est un isomorphisme de groupes si f est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f^-1 est aussi un morphisme de groupes. Si de plus, $(G,*)=(G',\star)$, on parle d'automorphisme du groupe G .

Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes.

Liens avec les sous-groupes

Soient $H \subset G \,$ un sous-groupe de $G \,$

$H' \subset G' \,$ un sous-groupe de $G' \,$.

On a alors:

$f(H) \,$ est un sous-groupe de $G' \,$

$f^{<-1 >}(H') \,$ est un sous-groupe de $G \,$

Par ailleurs:

Si $H' \,$ est un sous-groupe distingué de $G'\,$, alors $f^{<-1>}(H') \,$ est un sous-groupe distingué de $G=f^{<-1>}(G')\,$

note: dans le cas où $f\,$ est surjectif, on a $f(G)=G'\,$ et donc $f(H) \,$ est un sous-groupe distingué de $G'\,$

Noyau et image

Par définition, on appelle noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) du morphisme f, l'ensemble : $\ker f=f^{<-1>} \{ e' \} \,$

L'image de f est définie par : $\mbox{Im} f=f(G) \,$

On a les propriétés suivantes :

$\ker f$ est un sous-groupe distingué de $G\,$.

$\mbox{Im} f \,$ est un sous-groupe de $G' \,$.

Équivalence fondamentale :

$f \,\mbox{est injective} \Leftrightarrow \ker f = \{e\}$

Isomorphismes de groupe

On suppose dans cette section que f est un isomorphisme. Cela revient à dire que c'est un morphisme bijectif.

On dit alors que les deux groupes G et G' sont isomorphes.

L'application réciproque f ^{− 1} de G' vers G est également un isomorphisme de groupe.

Les deux groupes G et G' vont avoir exactement les mêmes propriétés, c'est-à-dire que du point de vue de la théorie des groupes ils se comportent comme étant le même objet.

Théorèmes d'isomorphismes

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

f induit un isomorphisme du groupe quotient $G/ \ker f \,$ vers $f(G) \,$

On peut noter mathématiquement cet isomophisme par :

$G/ker f\simeq Im(f)$

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors $H \cap N$ est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

$H/(H \cap N) \simeq NH/N$

Troisième théorème d'isomorphisme

Soit N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M est inclus dans N. N/M est alors un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/N)/(N/M)\simeq G/M$

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Bibliographie

• Elements de théorie des groupes , Josette Calais , PUF , Paris 1984.
• Algèbre générale , Bernard Charles et Denis Allouch , PUF , Paris , 1984.

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