Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment à Algèbre universelle.

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes $f:G\to G'$, on peut rendre f injectif en quotientant G par son noyau.

Intuitivement, quotienter un groupe G par un sous-groupe H revient à « annuler » les éléments de H. En quotientant par le noyau de f, on fait donc en sorte que f(x) = 1 ne soit vrai que pour x = 1, ce qui est équivalent à l'injectivité de f.

Pour pouvoir parler de morphisme de groupes $G/\operatorname{Ker} f\to G'$, il faut d'abord s'assurer que le quotient est muni d'une structure de groupe.

Proposition —  Soient G et G' deux groupes et soit $f:G\rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $\operatorname{Ker} f$ est un sous-groupe normal de G.

Démonstration

Notons $\cdot$ les lois de G et G', ainsi que e et e' leurs éléments neutres, et vérifions que $\operatorname{Ker} f$ est stable par conjugaison, c'est-à-dire que $x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f$ pour tout $x\in G$ et tout $h\in\operatorname{Ker} f$.

On a $f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})$. Comme h est dans $\operatorname{Ker} f$, c'est-à-dire que f(h) = e', on en déduit que $f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'$. Ainsi, $x\cdot h\cdot x^{-1}$ est dans $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Ker} f$ est donc un sous-groupe normal de G.

Le fait que $\operatorname{Ker} f$ soit un sous-groupe normal de G permet de définir sur le groupe quotient $G / \operatorname{Ker} f$ une loi de groupe compatible avec celle de G. Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes $f : G \rightarrow G'$ induit un morphisme $\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow \operatorname{Im} f$.

On peut maintenant énoncer le théorème.

Premier théorème d'isomorphisme —  Soient G et G' deux groupes, et soit $f:G \rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors f induit un isomorphisme de $G/\operatorname{Ker} f$ vers f(G).

Démonstration

Notons H le noyau de f. On définit $\hat f$ en posant

$\widehat f(xH) = f(x)$.

• La fonction $\widehat f$ est bien définie, c'est-à-dire que $\widehat f(xH)$ ne dépend que de la classe xH et pas du représentant particulier x.

En effet, si $y\in G$ est un autre représentant de xH, c'est-à-dire si xH = yH, alors $xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f$ donc f(x) = f(y), d'où $\widehat f(xH)=\widehat f(yH)$.

• Par définition de la loi de groupe quotient, $\widehat f$ est un morphisme de groupes.

• Le morphisme $\widehat f$ est surjectif :

pour tout $y\in f(G)$, il existe $x\in G$ tel que f(x) = y ; mais alors $\widehat f(xH)=f(x)=y$.

• Le morphisme $\widehat f$ est injectif.

En effet, soit xH un élément de son noyau. Alors $e'=\widehat f(xH)=f(x)$, c'est-à-dire que x est dans le noyau H de f. Mais alors xH = H, qui est l'élément neutre de G / H.

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme f se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Factorisation d'un morphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme —  Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G. Alors $N \cap H$ est un sous-groupe normal de H, et on a l'isomorphisme suivant :

$H/(H\cap N)\simeq HN/N.$

Démonstration

• Pour pouvoir parler du groupe HN / N, il faut d'abord montrer que HN est un groupe et que N en est un sous-groupe normal.

Soient hn et h'n' deux éléments de HN. On a hnh'n' = hh'(h' ^{− 1}nh')n', avec $hh'\in H$, $h'^{-1}nh'\in N$ (puisque N est normal dans G) et $n'\in N$, donc hnh'n' est dans HN, ce qui montre que HN est stable par multiplication. On démontre facilement qu'il est stable par inverses, et non vide.

D'autre part, on a les inclusions de groupes $N\subset HN\subset G$, et N est normal dans G, donc il est également normal dans HN.

• Pour établir l'isomorphisme, nous allons utiliser le premier théorème d'isomorphisme.

On dispose d'un morphisme injectif $j:H\hookrightarrow HN$ définie par j(h) = h, et de la surjection canonique $\sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N$ (l'ensemble à l'arrivée est un groupe, puisque N est normal dans G). En composant ces deux morphismes, on obtient un nouveau morphisme $f=\sigma\circ j:H\to HN/N$ défini par f(h) = hN.

• Le morphisme f est surjectif.

En effet, soit $(hn)N\in HN/N$, avec $h\in H$ et $n\in N$. Puisque n est dans N, hnN = hN, donc hnN = f(h).

• Le noyau de f est $H\cap N$.

En effet, f(h) = hN est l'élément neutre N de HN / N si, et seulement si, h est dans N. Comme h est déjà dans H, cela revient à dire que h est dans $N\cap H$.

• Le premier théorème d'isomorphisme assure alors que $N\cap H$ est un sous-groupe normal de H, et que le morphisme induit $\widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N$ est un isomorphisme.

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de N contient H (au lieu de le supposer égal à G tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient G un groupe et N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N / M est un sous-groupe normal de G / M et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

Démonstration

Le morphisme

$G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN$

est surjectif et de noyau N / M.

Voir aussi

Théorème de factorisation.

Référence

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4