Formule d'Euler

Formule d'Euler e^iφ = cos φ + isin φ

La formule d'Euler, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler, s'écrit pour tout nombre réel x,

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est le nombre imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Description

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction $x\mapsto e^{ix}$ décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque x varie dans l'ensemble des nombres réels. x représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est basée sur les développements de la fonction exponentielle $z\mapsto e^z$ de la variable complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles. En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes x.

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

$e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}$

et

$(e^a)^k = e^{a k} \,$

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes a, b et pour tout nombre réel k), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme seules variations de la fonction exponentielle :

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe x. Pour les obtenir, on peut dériver la formule d'Euler :

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,$

$e^{-ix} = \cos x - i \sin x \,$

et déterminer cosinus ou sinus.

Dans les équations différentielles, la fonction $x\mapsto e^{ix}$, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations

Par les séries de Taylor

Article détaillé : série de Taylor.

Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle x peut s'écrire :

$e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

et s'étend à tout nombre complexe x .

Maintenant si nous injectons i dans l'exposant, nous obtenons :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n$

Nous pouvons regrouper ses termes pour obtenir cette écriture dégénérée :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} i^{\,4n} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1} + \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2} + \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3} \right)$

Pour simplifier cela, nous utilisons les propriétés de base suivantes de i :

$i^0 = 1, \qquad i^1 = i, \qquad i^2 = -1, \qquad i^3 = -i, \qquad i^4 = 1, \ldots$

en généralisant à tout exposant entier, on a pour tout n :

$i^{\,4n} = 1, \qquad i^{\,4n+1} = i, \qquad i^{\,4n+2} = -1, \qquad i^{\,4n+3} = -i$

Ainsi,

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i \right)$

en réarrangeant les termes et en séparant la somme en deux (ce qui est possible puisque les deux séries sont absolument convergentes) :

$e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right) + i\,\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)$

Pour avancer un peu plus, nous utilisons les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus:

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n}} {(4n)!} - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right)$

Ce qui, en remplaçant dans les formules précédentes de e^ix, donne :

$e^{ix} = \cos x + i\; \sin x$

comme requis.

Par le calcul différentiel

Article détaillé : calcul différentiel.

Définissons l'application $f \$ par

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \$

Cette application est bien définie puisque

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \$

implique que $e^{ix} \$ n'est jamais nul.

L'application $f \$ est le quotient de deux fonctions dérivables donc elle est dérivable et sa dérivée est donnée par:

$f'(x)\,$	$= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \$
	$= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \$
	$= 0 \$

Ainsi, $f \$ est une fonction constante et continue sur $\mathbb{R}$. D'où

$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1$

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}$

Historique

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln(cos(x) + i sin(x)) = ix (où ln désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire Log de base e)^[1]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur l'égalité entre deux séries. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Descartes-Euler.
• Relation d'Euler dans le triangle
• Méthode d'Euler, calcul approché d'équations différentielles et de primitives
• Identité d'Euler, la fameuse identité : $e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Références

1. ↑ John Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, 2002