Corps de nombres totalement réel

Corps de nombres totalement réel

Corps totalement réel

En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l'ensemble des nombres complexes, l'image se trouve dans l'ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est engendré sur \mathbb{Q}\, par une racine d'un polynôme à coefficients entiers P dont toutes les racines sont réelles, ou bien encore le produit tensoriel K\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{R} est un produit d'exemplaires de \mathbb{R}. La notion de signature d'un corps de nombres permet de mesurer plus précisément à quel point un corps est loin d'être totalement réel.

Par exemple, les corps quadratiques sont soit totalement réels, soit complexes, suivant qu'ils sont engendrés par la racine carrée d'un nombre positif ou négatif. Dans le cas des corps cubiques, un polynôme P irréductible de degré 3 à coefficients entiers aura au moins une racine réelle. S'il possède une racine réelle et deux complexes, l'extension cubique correspondante de \mathbb{Q}\, définie en adjoignant la racine réelle ne sera pas totalement réelle, bien qu'elle soit incluse dans le corps des nombres réels.

Les corps totalement réels jouent un rôle spécial significatif dans la théorie algébrique des nombres ; ils sont l'objet par exemple de la conjecture de Greenberg. Une extension abélienne de \mathbb{Q}\, est soit totalement réelle, soit un corps à multiplication complexe, c'est-à-dire une extension quadratique totalement imaginaire d'un corps totalement réel.

Un nombre algébrique est dit totalement réel si tous ses conjugués (autrement dit les racines complexes de son polynôme minimal) sont réels. La plus petite extension normale contenant ce nombre est alors un corps totalement réel. Ainsi \sqrt{2} et \sqrt{2+\sqrt{2}} sont totalement réels, mais ni \sqrt[3]{2} ni \sqrt{1+\sqrt{2}} ne le sont.

Références

  • Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
  • (en) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory [détail des éditions]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Corps totalement r%C3%A9el ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Corps de nombres totalement réel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Corps Totalement Réel — En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l ensemble des nombres complexes, l image se trouve dans l ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est… …   Wikipédia en Français

  • Corps totalement reel — Corps totalement réel En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l ensemble des nombres complexes, l image se trouve dans l ensemble des nombres réels. De manière… …   Wikipédia en Français

  • Corps totalement réel — En mathématiques et en théorie des nombres, un corps de nombres K est dit totalement réel si pour chaque plongement de K dans l ensemble des nombres complexes, l image se trouve dans l ensemble des nombres réels. De manière équivalente, K est… …   Wikipédia en Français

  • CORPS — LES SAVOIRS et les pratiques qui ont pour objet le corps – médecine, arts plastiques, sémiologie, anthropologie, psychanalyse – ont à se débattre, dans la culture occidentale, avec deux traditions philosophiques, la cartésienne et… …   Encyclopédie Universelle

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques — On peut aborder l’étude d’un problème diophantien (cf. équations DIOPHANTIENNES) en commençant par chercher les solutions modulo p , un nombre premier quelconque: on est alors devant un problème plus facile, car Z/p Z est un corps [cf.… …   Encyclopédie Universelle

  • Corps des réels — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Nombres réels — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

  • Nombres complexes — Nombre complexe Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels.… …   Wikipédia en Français

  • Nombres imaginaires — Nombre complexe Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels.… …   Wikipédia en Français

  • Corps cyclotomique — Extension cyclotomique En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps des nombres rationnels, les surcorps de la forme où ζn est une racine primitive nème de l unité ; cette appellation provient de ce que ces… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”