Argument (mathématiques)

Argument d'un nombre complexe

Cet article est un complément de nombre complexe.

Un argument d’un nombre complexe z\; non nul d'image ponctuelle M\; (dans le plan complexe) est une mesure \theta\; (en radians) de l’angle :

(\overrightarrow{Ox},\;\overrightarrow{OM})\equiv\theta\mod 2\pi.

On a alors :

z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}=\left|z\right|\cdot e^{i\cdot\arg z}\;,

\rho=\left|z\right|\; représente le module de z\;.

Souvent on note un argument du nombre complexe z\; de façon simplifiée par :

\arg z=\theta\;,

ou plus précisément :

\arg z \equiv\theta\mod 2\pi\;.

Rappel :

  • \forall\theta\not\equiv\frac\pi 2\mod \pi,\ \tan\theta=\frac{\Im z}{\Re z}\; comme en coordonnées polaires et donc :
  • \tan\arg z=\frac{\Im z}{\Re z}=\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\;,\bar z\; est le conjugué de z\;,
  • si la partie réelle de z est strictement positive, \arg z\equiv\arctan\frac{\Im z}{\Re z}\equiv\arctan\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\mod 2\pi\;,.

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminée de la façon suivante :

  • \arg z=2\arctan \left(\frac{\Im z}{\Re z + \left|z\right|}\right) , si z n'est pas un réel négatif, π sinon.

Complex number.svg

Propriétés :

  • \arg(z_1\cdot z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\mod 2\pi\;, si z_1\; et z_2\; sont des complexes non nuls.
  • \arg(z^n)\equiv n\cdot\arg z\mod 2\pi\;, si z\; est un complexe non nul et n\; un naturel.
  • \arg\frac 1z\equiv-\arg z\mod 2\pi\;, si z\; est un complexe non nul.

En particulier:

  • \arg(a\cdot z)\equiv\arg z\mod 2\pi\;, si a\; est un réel strictement positif et z\; un complexe non nul.
  • \arg(a\cdot z)\equiv\arg z+\pi\mod 2\pi\;, si a\; est un réel strictement négatif et z\; un complexe non nul.
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