Module D'un Nombre Complexe

Module d'un nombre complexe

Cet article vient en complément à nombre complexe.

Le module d'un nombre complexe z est un réel positif, noté |z|, qui mesure sa « taille » et généralise la valeur absolue d'un nombre réel. En coordonnées cartésiennes, z s'écrit a+ib où i est l'unité imaginaire, a est la partie réelle de z et b sa partie imaginaire. Le module de z est donné par

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Le terme module a été introduit par Jean-Robert Argand dans son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques^{[réf. nécessaire]}.

Exemples

• Le module de 0 est 0. Le module d'un nombre complexe non nul est non nul.
• Le module d'un réel est sa valeur absolue.
• Le module de 1+i est $\sqrt{2}$. Comme expliqué dans cette vidéo, la racine carrée de $1/2+i\sqrt{3}/2$ a pour module 1.

Propriétés

Pour tous réels x et y, $|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}=|x+iy|$ et $|y|\leq \sqrt{x^2+y^2}$ (|x| et |y| valeurs absolues respectives de x et y). Les propriétés suivantes sont vérifiées pour tout nombre complexe z, z₁ et z₂ :

1. ${\left| z \right|} \ge 0\,$
2. ${\left| z \right|} = 0 \Leftrightarrow z = 0\,$
3. ${\left| z_1 . z_2 \right|} = \left| z_1 \right| . \left| z_2 \right|\,$
4. $\!{\left| {{z_1} \over {z_2}} \right|} = {{\left| z_1 \right|} \over {\left| z_2 \right|}}, \; si \; {z_2} \ne {0}\,$
5. ${\left| z_1 + z_2 \right|} \le {\left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|}\,$ (inégalité triangulaire)
6. $\!\!{\left| z_1 - z_2 \right|} \ge {\left| {\left| z_1 \right| - \left| z_2 \right|}\right|}\,$
7. $|\overline{z}|=|z|=|-\overline{z}|=|-z|$.

(Ici, $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe z. La propriété 6 est une conséquence de l'inégalité triangulaire. L'inégalité triangulaire se généralise à n nombres complexes $z_1, z_2, \cdots, z_n$,

$|z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|$.

Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : Pour tous nombres complexes z et z', |z+z'|=|z|+|z'| si et seulement si $\overline{z}z'\in\mathbb R_+$, si et seulement s’il existe un réel positif λ tel que z' = λz ou z = λz'.

Interprétation géométrique

Article détaillé : Plan d'Argand.

Si on interprète z comme un point dans le plan, c'est-à-dire si on considère son image alors, |z| est la distance de l'image de z à l'origine.

Il est utile d'interpréter l'expression |x - y| comme la distance entre les deux nombres complexes x et y dans le plan complexe.

D'un point de vue algébrique, le module est une valeur absolue, qui confère à l'ensemble des nombres complexes la structure de corps valué. C'est en particulier une norme, de sorte que le plan complexe est un espace vectoriel normé de dimension finie. Il en résulte que c'est aussi un espace métrique (donc un espace topologique).

L'application : $\mathbb C\times \mathbb C \rightarrow \mathbb R_+$, $(z_1, z_2)\mapsto |z_1-z_2|$ est une distance.

Nombres complexes de module 1

Article détaillé : groupe des unités.

L'ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de $\left(\mathbb C^*, \times\right)$

L'application $z\mapsto |z|$ de $\left(\mathbb C^*, \times\right)$ dans $\left(\mathbb R^*, \times\right)$ est un morphisme de groupe. Son noyau n'est autre que l'ensemble $\mathbb U$.

On appelle $\mathbb U$ le groupe des unités. L'application $x\mapsto \exp(ix)$ est un morphisme de groupes de R dans U. Ce morphisme est périodique et on note 2π sa période. Cette définition du nombre Pi est due au collectif Nicolas Bourbaki^{[réf. nécessaire]}.

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