Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue f définie sur l'intervalle [0,1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Ces polynômes sont de la forme

B^n_k(x)=C_n^k x^k (1-x)^{n-k}

pour un entier n, où C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de k éléments (sans les distinguer) parmi n. On construit donc une approximation de f par la fonction

b_n(f,x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)B^k_n(x).

On construit b_n(f,\cdot) à partir des valeurs de f aux points 0, 1n, …, (n-1)n, 1 mais, en ces points, la valeur de b_n(f,\cdot) peut être différente de celle de f, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de bn(f,x) vers f s'énonce donc de la façon suivante : pour tout ε > 0, il existe un entier n tel que :

pour tout entier m\ge n et tout x\in[0,1],\qquad|f(x)-b_m(f,x)|<\epsilon.

Il convient de noter que si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres (n,x), alors bn(f,x) n'est rien d'autre que l'espérance de f(X / n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité x\,. La convergence simple de bn(f,x) (c'est-à-dire pour chaque point x) vers f(x) est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre Xn et x, on en déduit facilement la convergence uniforme de b_n(f,\cdot) vers f.

Bibliographie

Articles connexes

  • Théorème de Bernstein (théorie de l'approximation) (en)
  • Inégalité de Jackson (en)
  • Approximation de Korovkine (de), cf (en) N. L. Carothers, Real analysis, CUP, 2000 (ISBN 9780521497565), p. 186 

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