Approximant de Padé de la fonction exponentielle
Les travaux présentés dans cet article sont l'œuvre d'Henri Padé, un mathématicien français.

En mathématiques, un approximant de Padé de la fonction exponentielle est une fraction rationnelle h(x) / k(x), où h(x) désigne un polynôme de degré p et k(x)de degré q, telle que le développement limité de la fraction à l'ordre p + q soit identique à celui de l'exponentielle. L'étude de cette question est l'exemple introductif choisi par Henri Padé (1863 - 1953) pour la théorie des approximants portant son nom.

L'existence de suites de fractions rationnelles ayant pour limite l'exponentielle est une question déjà abordée avant les travaux de Padé. Leonhard Euler ouvre le bal[1] avec une première expression montrant l'irrationalité du nombre e, Joseph-Louis Lagrange trouve trois formes différentes[2] et Carl Friedrich Gauss encore une[3].

Le travail de Padé consiste à généraliser ces travaux précédents en vue d'illustrer par un exemple une théorie générale s'appliquant à toute fonction analytique. Il traite cette question sous quatre aspects, il montre l'existence d'un approximant de Padé d'indice (p, q), il établit les relations de récurrence permettant de déterminer un approximant d'ordre supérieur, il en déduit les différentes expressions sous forme de fractions continues généralisées de l'exponentielle et montre la convergence uniforme de certaines suites d'approximants.

La présentation ici correspond à une reformulation[4] de 1899 et un enrichissement d'une partie de son travail de thèse[5].

Sommaire

Réduite de la fonction exponentielle

Dans la suite de l'article, p et q désignent deux entiers positifs. Le premier résultat établit l'existence et l'unicité, à un facteur multiplicatif près, de deux polynômes hp,q et kp,q de degré respectif p et q tel que :

  • Les développements en séries entières au point 0 de la fraction rationnelle hp,q / kp,q et de la fonction exponentielle coïncident sur les p + q + 1 premiers termes.

Une telle fraction rationnelle est appelée Approximant de Padé. Pour établir ce résultat, le mathématicien se fonde sur l'expression suivante d'une primitive de etx.π(x) où t est un paramètre, x la variable et π un polynôme dont le degré est noté n :

\int \exp (tx)\pi(x) dx= \exp (tx)\cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i\frac {\pi^{(i)}(x)}{t^{i+1}}

Il en déduit les expressions suivantes :

h_{p,q}(x) = \sum_{i=0}^p \frac {p!\cdot (p+q -i)!}{(p-i)!\cdot (p+q)!\cdot i!} \cdot x^i\quad\text{et}\quad k_{p,q}(x) = \sum_{j=0}^q (-1)^j\frac {q!\cdot (p+q -j)!}{(q-j)!\cdot (p+q)!\cdot j!} \cdot x^j

La configuration présente de nombreuses analogies avec les fractions continues, ce qui justifie la définition suivante :

La fraction rationnelle hp,q / kp,q est appelée réduite d'ordre ou d'indice (p, q) de la fonction exponentielle.

On dispose par exemple de propriétés comme :

  • Les deux polynômes hp,q et kp,q sont uniques et premiers entre eux.

Table de Padé

Ainsi, la fonction exponentielle s'approxime par des fractions rationnelles, de manière un peu analogue à l'approximation par des polynômes avec les séries entières. Si les polynômes forment une suite, les approximants de Padé définissent un tableau à double entrée appelé table de Padé. Les premiers termes sont les suivants[6] :

Table de Padé 0 1 2 3
0 1\;  1 + x\;  1 + x + \frac {x^2}2\;  1 + x + \frac {x^2}2 + \frac {x^3}6\;
1  \frac 1{1 - x}  \frac {1 + \frac 12x}{1 - \frac 12x}  \frac {1 + \frac 23 x + \frac 16 x^2}{1 - \frac 13x}  \frac {1 + \frac 34x + \frac 14x^2 + \frac 1{24}x^3}{1 - \frac 14x}
2  \frac 1{1 - x + \frac {x^2}2}  \frac {1 + \frac 13x}{1 - \frac 23x+ \frac 16x^2}  \frac {1 + \frac 12x + \frac 1{12}x^2}{1 - \frac 12x + \frac 1{12}x^2}  \frac {1 + \frac 35 x + \frac 3{20}x^2 + \frac 1{60}x^3}{1 - \frac 25x + \frac 1{20}x^2}
3  \frac 1{1 - x + \frac 12x^2 - \frac 16 x^3}  \frac {1 + \frac 14x}{1 - \frac 34x+ \frac 14x^2 - \frac 1{24}x^3}  \frac {1 + \frac 25x + \frac 1{20}x^2}{1 - \frac 35x + \frac 3{20}x^2 - \frac 1{60}x^3}  \frac {1 + \frac 12 x + \frac 1{10}x^2 + \frac 1{120}x^3}{1 - \frac 12x + \frac 1{10}x^2 - \frac 1{120}x^3}

La première ligne horizontale correspond au développement en série entière. Les lignes diagonales définies par l'égalité p + q = C, où C est une constante positive donnée, correspondent à un ensemble de fractions rationnelles dite droite d'égale approximation. On y trouve par exemple, si C est égal à 2, les couples (2,0), (1,1) et (0,2). Une fraction rationnelle de la table est dite plus avancée qu'une autre lorsque son coefficient C est plus élevé.

Le graphique suivant illustre la convergence de différentes suites extraites de la table de Padé. Ici la notation Exp[p,q] désigne la réduite d'ordre (p, q). La fonction exponentielle, notée Exp, est illustrée en rouge. La premier ligne du tableau correspond à la suite des polynômes de la série entière. Elle est illustrée en bleu et correspond à la suite Exp[1,0], Exp[2,0], Exp[3,0], etc. En vert et pointillé est illustrée la suite correspondant à la deuxième ligne de la table, elle est formée des approximants Exp[0,1], Exp[1,1], Exp[2,1], Exp[3,1], etc. En violet, on trouve les fractions de la diagonale : Exp[1,1], Exp[2,2], Exp[3,3], etc.

Différentes suites extraites de la table de Padé convergent uniformément vers la fonction exponentielle sur tout intervalle borné.

Formule de récurrence

Illustration d'une suite de réduites choisie par Lagrange pour construire une fraction continue approchant la fonction exponentielle

Padé cherche ensuite à obtenir des suites à partir de la table portant son nom. Si (pn) et (qn) sont deux suites croissantes de couples d'indices, l'objectif est expression sous forme de récurrence de la suite des réduites d'indice (pn, qn). Cette récurrence permet d'obtenir une expression des différentes réduites de la suite, ce qui n'a pas beaucoup d'intérêt dans le cas présent car les réduites sont déjà calculées, la démarche est néanmoins instructive pour comprendre le cas général. Cette récurrence est aussi une étape pour exprimer la fonction exponentielle sous forme de fractions continues. L'exemple illustrée par la figure de droite est utilisé par Lagrange pour obtenir un résultat de cette nature. Dans cet exemple, si fn(x) désigne le nième terme de la suite, on a :

f_1(x) = \exp_{[1,0]} = 1 + x,\quad f_2(x) = \exp_{[1,1]} = \frac {1 + \frac 12x}{1 - \frac 12x}= 1 + \frac x{1 - \frac 12x}

Puis :

f_3(x) = \exp_{[2,1]} = \frac {1 + \frac 23 x + \frac 16 x^2}{1 - \frac 13x} = 1 + \frac x{1 - \cfrac{\frac 12x}{1 + \frac 16x}}\quad\text{etc...}

L'incrémentation des indices (pn+1 - pn, qn+1 - qn) est étudiée dans les trois cas (1,0), (0,1) et (1,1). Le premier cas correspond à un déplacement horizontal de une case, le deuxième à un déplacement vertical d'une case et le troisième à la conjonction des deux. On dispose des relations de récurrence suivantes :

  • Soit (fn) une suite de réduites dont le couple de la différence des indices entre fn+1 et fn correspond toujours à l'un des trois cas (1,0), (0,1) ou (1,1), alors il existe une relation de récurrence de type :
h_{(p_{n+2},q_{n+2})} =\alpha_{n+2}\cdot h_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot h_{(p_{n+1},q_{n+1})}\quad\text{et}\quad k_{(p_{n+2},q_{n+2})} =\alpha_{n+2}\cdot k_{(p_n,q_n)} + \beta_{n+2}\cdot k_{(p_{n+1},q_{n+1})}
αn+2 désigne un monôme à coefficient différent de 0 et d'exposant égal à 1 ou 2, et βn+2 un polynôme de degré 0 ou 1 et à terme constant différent de 0.

Le tableau suivant résume les trois configurations possibles :

Padé type 1,2 et 3.jpg

Les flèches rouges indiquent les incréments utilisés pour passer de fn(x) à fn+1(x). Pour les deux premières configurations, il correspondent à (1,0) ou (0,1), c'est-à-dire que soit le degré du numérateur, soit celui du dénominateur est incrémenté de 1, pour la dernière ils sont chacun incrémentés de 1. Les flèches vertes indiquent les incréments utilisés pour passer de fn+1 à fn+2. L'illustration précédente indique le degré des deux polynômes αn+2(x) et βn+2(x) utilisés pour exprimer la formule de récurrence. Pour la configuration 3, le seul cas où βn(x) est une constante correspond à celui ou fn(x), fn+1(x) et fn+2(x) se trouvent sur la diagonale principale, d'indice un couple (p, p).

Fraction continue

La relation de récurrence permet d'écrire un approximant de Padé sous forme de fraction continue, c'est-à-dire :

(1)\quad f_n = \alpha_0 + \frac{\alpha_1\mid}{\mid \beta_1} + \frac{\alpha_2\mid}{\mid \beta_2} + \cdots + \frac{\alpha_n\mid}{\mid \beta_n}

Si la première fraction réduite n'est pas un polynôme, par convention on pose hp0 = 0, kp0 = 1 et f0 = 0, ce qui ramène à une expression de la forme précédente. On définit :

\alpha_0 = h_{(p_0,0)},\; \beta_0 = k_{(p_0,0)} = 1\quad\text{et}\quad \alpha_1 = h_{(p_1,q_1)} - k_{(p_1,q_1)}h_{(p_0,0)},\;\beta_1=k_{(p_1,q_1)}

Si les fonctions αn et βn, pour n supérieur ou égal à 2, sont définis par les relations du paragraphe précédent, alors la fonction fn vérifie bien la relation (1).

La fraction continue est dite régulière si les polynômes αj pour j > 1 sont tous de même degré, ainsi que les polynômes βj. Les tableaux du paragraphe précédent montrent qu'il en existe de trois types différents.

Fraction continue du premier type

Les fractions continue du premier type s'obtiennent en considérant une suite extraite de la table de Padé selon la première configuration du paragraphe précédent.

Les fractions continues du premier type s'obtiennent avec des polynômes β réduits à des constantes et tel que le monôme α soit du premier degré. L'étude des relations de récurrence montrent qu'elles s'obtiennent nécessairement à l'aide d'une suite de réduites correspondant à la première configuration du paragraphe précédent. Quitte à remonter cette suite jusqu'au bord du tableau, on remarque qu'il en existe une pour chaque case à la frontière du tableau. Lagrange a développé celle ayant pour première réduite la fraction 1 + x. On obtient l'expression suivante :

1 + \frac{x\mid}{\mid 1} - \frac{\frac 12 x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots

Elle correspond à la suite des réduites rouges sur la figure.

Gauss définit une fraction continue du même type. En revanche, son point initial correspond à une fraction de numérateur réduit à une constante. La fraction initiale correspond au couple (0,1), c'est-à-dire la fraction 1/(1 - x). Il est possible d'en construire d'autres de cette nature, par exemple à l'aide de la série bleue illustrée sur la figure, correspondant à la fraction initiale 1/(1 - x + x2/2 - x3/6). Le choix de Gauss correspond à la fraction continue suivante :

\frac{1\mid}{\mid 1} - \frac{x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 13x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 16x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{6}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{10}x \mid}{\mid 1} - \frac{\frac 1{14}x \mid}{\mid 1}+\cdots

Fraction continue du deuxième type

Les fractions continue du deuxième type s'obtiennent comme précédemment, mais en suivant un déplacement soit toujours vertical soit toujours horizontal.

Les fractions continues de la deuxième catégorie correspondent à la configuration 2. Elles s'obtiennent à l'aide d'un déplacement continue soit vers le bas soit vers la droite. Les numérateurs α sont des monômes du premier degré et les dénominateurs β, des polynômes du premier degré ayant une constante non nulle. Trois exemples sont illustrés sur la figure de gauche. Le plus célèbre est probablement celui d'Euler, qui correspond à suite illustrée en vert. Il correspond à la suite telle que la réduite d'ordre n est le développement limité à l'ordre n de la fonction exp(x).

On obtient l'expression suivante :

\frac{1\mid}{\mid 1} - \frac{x \mid}{\mid 1+x} - \frac{\frac 12x \mid}{\mid 1+ \frac 12x} - \frac{\frac 13x \mid}{\mid 1+\frac 13 x} - \frac{\frac 14x \mid}{\mid 1+\frac 14x} - \cdots

La fraction continue est décrite par les expressions suivantes :

\alpha_n(x) = -\frac 1n x \quad\text{et}\quad \beta_n (x) = 1 + \frac 1n x

Le travail de Padé montre que l'exemple d'Euler ne correspond qu'à un cas particulier de fraction continue de cette nature. Il en existe en fait une infinité, exactement une par case de la frontière de la table de Padé. Cette situation est d'ailleurs la même pour tous les types de fractions continues.

Fraction continue du troisième type

Les fractions continue du troisième type se caractérisent par des dénominateurs égaux à des monômes du deuxième degré.

Le dernier type de configuration correspond à la troisième décrite dans le paragraphe sur les relations de récurrence. Ici, le passage d'une réduite à une autre s'obtient par un déplacement diagonale. Les monômes α sont toujours du second degré. Les polynômes β sont du premier degré, à l'exception de la fraction continue associée à la diagonale principale, en rouge sur la figure. Le terme du premier degré s'annule et l'expression est réduite à une constante.

Lagrange découvre celle associé à la série bleue sur la figure. Elle fournit l'expression suivante :

1 + x + \frac{\frac 12x^2\mid}{\mid 1-\frac 13x} + \frac{\frac 1{36}x^2 \mid}{\mid 1-\frac 1{15}x} + \frac{\frac 1{100}x^2 \mid}{\mid 1- \frac 1{35}x} + \cdots

Les formules exactes sont :

 \forall n\ge 3 \quad \alpha_n(x) = \frac {x^2}{4(2n-3)^2}\quad\text{et}\quad \beta_n(x) = 1 - \frac x{(2n-1)(2n-3)}

La diagonale principale est aussi étudié par Lagrange. Elle n'est pas à proprement parlé du troisième type car les dénominateurs sont des constantes à partir de la valeur deux de l'indice; C'est l'unique exception.

1 + \frac{x\mid}{\mid 1-\frac 12x} + \frac{\frac 1{12}x^2 \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{60}x^2 \mid}{\mid 1} + \frac{\frac 1{140}x^2 \mid}{\mid 1}\cdots\quad\text{avec}\quad \forall n\ge 2 \quad \alpha_n(x) = \frac {x^2}{4(2n-1)(2n-3)}


Convergence des réduites

Les fractions continues des trois types précédents, sont toutes uniformément convergentes sur les intervalles réels bornées ou les disques complexes de rayons finis. De manière plus précise, on dispose de la propriétés :

  • Soit (pn) et qn) deux suites croissantes à valeurs positives et entières dont l'une au moins tend vers l'infini, si le rapport pn / qn tend vers une limite, finie ou infinie, la suite de fractions rationnelles h(pn, qn) / k(pn, qn) converge uniformément sur tout ensemble borné.

Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers des séries entières. Si pn / qn à pour limite ω, alors :

\lim_{n \to \infty} h_{(p_n,q_n)}(x) = \exp \left(\frac {\omega x}{1 + \omega}\right)\quad \text{et}\quad 
\lim_{n \to \infty} k_{(p_n,q_n)}(x) = \exp \left(\frac {-x}{1 + \omega}\right)

Si pn croît infiniment plus que qn, alors le numérateur tend vers la fonction exponentielle et le dénominateur vers la fonction constante 1.

Notes

Références

  1. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum t. 1 par. 368-373 Lire en Pdf 1748
  2. J.-L. Lagrange Sur l’usage des fractions continues dans le Calcul intégral Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres t. 4 p. 301 (1779)
  3. C. F. Gauss Disquisitiones generales circa superficies curvas Œuvres t. 3 p. 123 (1827)
  4. H. Padé Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure Sér. 3 pp 395-426 (1899) Lire en Pdf
  5. H. Padé Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l'Université de la Sorbonne 1892
  6. Cette table est extraite de l'article de H. Padé : Sur les fractions approchées d'une fonction par des fractions rationnelles Annales scientifique de l'ENS. 3ième série tome 9 p 16 1892

Liens externes

Bibliographie

  • C. Brezinski & M. R. Zaglia, Extrapolation Methods: Theory and Practice, North-Holland 1991 (ISBN 0444888144)
  • G. A. Baker & P. Graves-Morris, Padé Approximants Encyclopedia of Mathematics and its Applications N° 59 2nd Ed 1996 (ISBN 0521450071)

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