Approche polyèdrale

Approche polyèdrale

Le problème fondamental de l'approche polyèdrale est le suivant:

Etant donné un ensemble X de points de l'espace Euclidien, déterminer un système d'inégalités linéaire décrivant l'enveloppe convexe de X.

Généralement X est un ensemble de points à coordonnées entières (voire en 0-1) qui représente les solutions réalisables d'un programme linéaire en nombres entiers. A l'origine cette approche a été introduite par Jack Edmonds qui donna la première caractérisation du polytope des couplages d'un graphe, c'est-à-dire de l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques (dans {0,1}E) des couplages d'un graphe G = (V,E).

Le succès de l'opération a une conséquence directe algorithmique puisqu'elle réduit ainsi le problème d'optimiser sur X à un problème facile de programmation linéaire classique. Ceci est rendu possible à la condition toutefois de posséder un algorithme polynomial pour séparer les contraintes linéaires (c'est-à-dire décider si un point donné de l'espace appartient ou non au polyèdre défini par les contraintes, et sinon à trouver un hyperplan de séparation). Ce résultat fondamental est connu sous le nom de théorème séparation/optimisation.

Dans les faits, il existe un lien étroit entre la complexité algorithmique de l'optimisation sur X et la connaissance d'une description simple de conv(X). Pour beaucoup de problèmes polynomiaux une telle description est connue.

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