Application identite

Application identité

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En mathématiques, sur un ensemble X donné, une application identité ou fonction identité est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument :

\forall x\in X,\ f(x)=x\in X.

Le graphe de l'application identité est appelée la diagonale de l'espace produit X \times X. Pour X=\mathbb{R}, l'ensemble des nombres réels, le graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Notations

L'application identité sur X est notée idX ou IdX. quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble sur lequel on travaille, on note l'application identité id ou Id.

Elle est parfois notée 1X, mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec la fonction indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a :

f\circ \mathrm{id}_X=f=\mathrm{id}_Y\circ f

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même.

L'application identité est une bijection de X dans lui-même.

L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide, dont l'application identité est l'élément neutre.

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E,T) dans (E,T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'.

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