Matrice Compagnon

Matrice Compagnon

Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n\,

est la matrice carrée définie de la façon suivante :

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{bmatrix}.

(il s'agit en réalité de la transposée de cette matrice).

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p(t) possède n racines distinctes \lambda_1,\dots,\lambda_n (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,

V est la matrice de Vandermonde associée à \lambda_1,\dots,\lambda_n.

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps \mathbb{K}, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

  • A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans \mathbb{K}
  • le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
  • il existe un vecteur v dans \mathbb{K}^n tel que {v,Av,A2v,...,An − 1v} est une base de \mathbb{K}.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Matrice compagnon ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice Compagnon de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice compagnon — En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire est la matrice carrée suivante[1],[2],[3]  …   Wikipédia en Français

  • Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D …   Wikipédia en Français

  • Matrice Définie Positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes : aT désigne la… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… …   Wikipédia en Français

  • Matrice definie positive — Matrice définie positive En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou… …   Wikipédia en Français

  • Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”