Inégalité de Cauchy

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 Ne doit pas être confondu avec Inégalité de Cauchy-Schwarz.

L' inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Soit f une fonction holomorphe, dans un disque D de centre ω₀ et de rayon R. On note pour tout réel r de ]0, R[ :

$M \left( r \right) = \mathrm{sup} \{ | f \left( \omega \right) |\quad/\quad|\omega - \omega_0|=r \}$.

Alors, pour tout entier naturel n, on a :

$\left| \frac{f^{(n)} \left( \omega_0 \right)}{n!} \right| \leq \frac{M \left( r \right)}{r^n}$.

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.