Inégalité (mathématiques)

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En mathématiques, une inégalité est un énoncé permettant de comparer la taille, ou l'ordre de deux objets (dans le cas où ils seraient égaux, on a une égalité)

• La notation a < b signifie que a est plus petit que b
• La notation a > b signifie que a est plus grand que b
• La notation a ≠ b signifie que a et b ne sont pas égaux, mais ne fournit aucune information sur la grandeur de a par rapport à b

Dans chacun des énoncés précédents, a ne peut pas être égal à b. Ces relations sont alors appelées des inégalités strictes. La notation a < b peut alors être lue comme «a est strictement plus petit que b».

On peut aussi trouver des inégalités qui ne sont pas strictes (on parle alors d'«inégalité large»

• La notation a ≤ b signifie que a est plus petit ou égal à b (ou que a n'est pas plus grand que b)
• La notation a ≥ b signifie que a est plus grand ou égal à b (ou que a n'est pas plus petit que b)

Il existe aussi des notations permettant de dire qu'une quantité est beaucoup plus grande qu'une autre, utilisées notamment en Physique:

• La notation a ≪ b signifie que a est beaucoup plus petit que b
• La notation a ≫ b signifie que a est beaucoup plus grand que b

Le sens exact de ces notations dépend de leur domaine d'utilisation, mais les utilise le plus souvent lorsque le rapport du plus grand nombre sur le plus petit nombre est supérieur à 10.

Propriétés

Les inégalités vérifient certaines propriétés. La plupart des propriétés (de transitivité, inversion, addition ou soustraction) sont conservées lors du passage à des inégalités larges.

Transitivité

Par transitivité des inégalités, on a, pour tous réels a, b, et c:

• Si a > b et b > c, alors a > c
• Si a < b et b < c, alors a < c
• Si a > b et b = c, alors a > c
• Si a < b et b = c, alors a < c

Addition et soustraction

Pour tous réels a, b et c, on a :

• Si a > b, alors a + c > b + c
• Si a < b, alors a + c < b + c

ce qui équivaut à dire que l'ensemble des réels est un groupe ordonné

Multiplication et division

Pour tous réels a et b et pour tout réel c non nul, on a :

• si c est positif et a < b, alors ac < bc et a/c < b/c
• si c est négatif et a < b, alors ac > bc et a/c > b/c

De telles propriétés sont valables pour tout groupe commutatif ordonné, comme on le verra plus loin.

Passage à l'opposé

Pour tous réels a et b, on a:

• Si a < b, alors −a > −b
• Si a > b, alors −a < −b

Passage à l'inverse

Pour tous réels a et b non nuls, on a:

• Si a et b sont tous deux positifs ou négatifs :
  • Si a < b, alors 1/a > 1/b
  • Si a > b, alors 1/a < 1/b
• Si a et b ne sont pas du même signe :
  • Si a < b, alors 1/a < 1/b
  • Si a > b, alors 1/a > 1/b

Fonctions et inégalités

Toute fonction strictement croissante peut être appliquées aux deux termes d'une inégalité tout en la conservant. Si on applique une fonction strictement décroissante, il faut alors changer le signe de l'inégalité en son opposé.

On peut par exemple appliquer la fonction exponentielle aux deux membres d'une inégalité :

$a < b \Leftrightarrow e^a < e^b$

Corps ordonné

Article détaillé : Corps ordonné.

Si (F, +, ×) est un corps commutatif, et ≤ un ordre total sur F, alors on dira que (F, +, ×, ≤) est un corps ordonné si, et seulement si:

• Pour tout éléments a b et c de F, a ≤ b implique a + c ≤ b + c
• 0 ≤ a et 0 ≤ b implique 0 ≤ a × b

Les corps (Q, +, ×, ≤) et (R, +, ×, ≤) sont des exemples courants de corps ordonnés, mais on ne peut pas définir de relation ≤ sur C tel que (C, +, ×, ≤) soit un corps ordonné.

Les inégalités larges ≤ et ≥ sur les nombres réels sont des relations d'ordre totale. Les inégalités strictes < et > sur les nombres réels sont des relations d'ordre strict.

Succession d'inégalités

La notation a < b < c est équivalente à a < b et b < c, d'où l'on peut déduire, avec les propriétés de transitivité, que a < c. Avec les autres propriétés des inégalités, on peut ajouter ou soustraire n'importe quel terme à l'ensemble des termes comparés, ou les multiplier (ou diviser) par un nombre, en faisant attention à changer le signe si nécessaire. Par exemple, a < b + e < c est équivalent à a - e < b < c - e.

On peut généraliser cette notation à un nombre plus important de termes. De fait, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n signifie que, pour tout i entre 1 et n − 1, on a a_i ≤ a_i+1 Par transitivité, cela signifie alors que l'on a a_i ≤ a_j pour tout 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Lorsque l'on souhaite résoudre des inéquations utilisant cette notation, il est parfois nécessaire de devoir résoudre celles-ci de façon séparée. Par exemple, on ne peut, pour résoudre l'inégalité 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2, isoler x dans un des termes. Il faut alors résoudre les inéquations séparement, puis de chercher l'intersection des solutions.

On peut aussi observer de telles notations mélangeant plusieurs comparaisons. Ainsi, a < b = c ≤ d signifie que a < b, b = c et que c ≤ d (et donc, par transitivité, que a ≤ b, par exemple)

Inégalités entre moyennes

Article connexe : Inégalité arithmético-géométrique.

Il existe des inégalités entre les diverses sortes de moyennes. Par exemple, pour des nombres positifs a₁, a₂, …, a_n, si

$H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}$	(moyenne harmonique),
$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$	(moyenne géométrique),
$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$	(moyenne arithmétique),
$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$	(moyenne quadratique).

On a : H ≤ G ≤ A ≤ Q

Voir aussi

• Inéquation
• Intervalle (mathématiques)
• Optimisation linéaire : problèmes d'optimisation, avec comme contraintes certaines inégalités
• Poset
• Relation binaire