Invariant


Invariant

En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre.

Sommaire

Invariant d'une transformation

Si g:EE est une application, un invariant de f est un point fixe, c'est-à-dire un élément x de E qui est sa propre image par g :

g(x)=x~.

Pour une telle application g, une partie de E est dite

  • invariante point par point si tous ses éléments sont des points fixes,
  • globalement invariante si elle est égale à son image directe.

Ces notions interviennent souvent en systèmes dynamiques, pour les transformations géométriques et pour les actions de groupe. En effet, les invariants d'une application peuvent apporter des informations à son sujet.

Propriété invariante

Une propriété est dite invariante lorsqu'un procédé ne la modifie pas. Une propriété concerne un objet ou un ensemble d'objets donné. Différentes constructions peuvent être menées pour construire des objets de nature similaire : partie, complémentaire, somme, produits, quotient, recollement, extension, ...

L'invariance d'une propriété caractérise sa stabilité sous ces constructions.

Au sens de la théorie des catégories

Pour une catégorie donnée, un invariant est une quantité ou un objet associé(e) à chaque objet de la catégorie, et qui ne dépend que de la classe d'isomorphisme de l'objet, éventuellement à isomorphisme près.

Le langage des invariants est particulièrement adapté à la topologie algébrique.

Voir aussi


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  • invariant — invariant, iante [ ɛ̃varjɑ̃, jɑ̃t ] adj. et n. m. • 1877; de 1. in et varier, par l angl. invariant (1851) ♦ Sc. Se dit d une grandeur, d une expression, d une relation ou d une propriété qui se conserve dans une transformation de nature physique …   Encyclopédie Universelle

  • invariant — INVARIÁNT, invarianţi, s.m. Mărime, relaţie, proprietate etc. care rămâne neschimbată în urma aplicării sau intervenţiei unei transformări. [pr.: ri ant. var.: invariántă s.f.] – Din fr. invariant. Trimis de valeriu, 21.07.2003. Sursa: DEX 98 … …   Dicționar Român

  • Invariant — may have several meanings, among which are:* Invariant (computer science), an expression whose value doesn t change during program execution * In computer science, a type in overriding that is neither covariant nor contravariant * Invariant… …   Wikipedia

  • invariant — [in ver′ē ənt] adj. not varying; constant; specif., having the nature of an invariant n. Math. an entity that is unchanged by a given transformation invariance n …   English World dictionary

  • Invariant — In*va ri*ant, n. (Math.) An invariable quantity; specifically, a function of the coefficients of one or more forms, which remains unaltered, when these undergo suitable linear transformations. J. J. Sylvester. [1913 Webster] …   The Collaborative International Dictionary of English

  • invariant — index constant (adjective), constant (noun) Burton s Legal Thesaurus. William C. Burton. 2006 …   Law dictionary

  • invariant — invariant→dauerhaft …   Das Wörterbuch der Synonyme

  • invariant — (adj.) 1851, from IN (Cf. in ) (1) “not” + VARIANT (Cf. variant) …   Etymology dictionary

  • invariant — ► ADJECTIVE ▪ never changing. ► NOUN Mathematics ▪ a function which remains unchanged when a specified transformation is applied. DERIVATIVES invariance noun …   English terms dictionary

  • invariant — adjective Date: 1874 constant, unchanging; specifically unchanged by specified mathematical or physical operations or transformations < invariant factor > • invariant noun …   New Collegiate Dictionary