Intégration par partie

Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

$\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx$

ou encore, en remarquant que u'(x)dx et v'(x)dx sont respectivement les différentielles de u et de v :

$\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du$

On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C¹ par morceaux sur le segment d'intégration

Démonstration

La démonstration de cette formule est très simple : en effet, elle découle directement de la règle du produit, soit u et v : (uv)' = u'v + uv'.

On a donc uv' = (uv)' − u'v puis :

$\int u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \int (uv)'(x)\,\mathrm dx - \int u'(x) v(x)\,\mathrm dx$

Ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.

Cette démonstration peut également être faite à l'aide de la notation de Leibniz. Soit deux fonctions dérivables u et v. La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

$\frac {\mathrm d(uv)}{\mathrm dx}= u\frac {\mathrm dv}{\mathrm dx}+v\frac {\mathrm du}{\mathrm dx}$

En multipliant par dx on obtient :

$\mathrm d(uv)= u\frac {\mathrm dv\mathrm dx}{\mathrm dx}+v\frac {\mathrm du\mathrm dx}{\mathrm dx}$

d(uv) = udv + vdu

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

udv = d(uv) − vdu

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

$\int u\,\mathrm dv= \int \mathrm d(uv)-\int v\,\mathrm du$

On obtient alors :

$\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du$

Grâce à la formule de Leibniz, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe C^{k + 1} :

$\int_{a}^{b} f(x) g^{(k+1)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{(n)}(x) g^{(k-n)}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f^{(k+1)}(x) g(x) \,\mathrm dx$

La règle employée pour dériver est l'ordre LPET. L'on commence par les fonctions logarithmiques puis polynomiales, exponentielles et enfin trigonométriques.

Choix des variables

Le choix des fonctions u et v' est arbitraire, il requiert de la pratique et de l'intuition. Cependant, après l'exemple ci dessous, quelques règles peuvent être posées pour gagner du temps.

$\int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx$

si on choisit u = ln(x), on a u' = 1 / x et v' = x donc v = x² / 2, d'où :

$\int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}x\,\mathrm dx$

En revanche si on choisit u = x on a u' = 1 et v' = ln(x) donc v = xln(x) − x, d'où :

$\int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2}(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx$

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale.

Exemples

Effectuons le calcul de :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,\mathrm dx$

grâce à une intégration par parties. Pour cela, nous posons :

f(x) = x, de telle sorte que f'(x) = 1,

g'(x) = cos(x), de telle sorte que g(x) = sin(x), par exemple.

Il vient :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f'(x) g(x) \,\mathrm dx$

$= \left[x\sin (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (x) \,\mathrm dx$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \left[\cos (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$

Effectuons le calcul de l'intégrale indéfinie suivante :

$\int xe^x \mathrm dx$

Pour l'intégration par parties posons :

u = x et dv = e^xdx

Nous avons donc :

du = dx et v = e^x

Utilisons la formule de l'intégration par parties :

$\int u\,\mathrm dv= uv-\int v\,\mathrm du$

$\int xe^x \,\mathrm dx= xe^x-\int e^x\,\mathrm dx$

L'intégrale est maintenant beaucoup plus simple à calculer. On trouve :

$\int xe^x\,\mathrm dx= xe^x-e^x+C$

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