Intégrale de Lebesgue

En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, puis le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur $\mathbb{R}$ (ou sur $\mathbb{R}^n$), munis de la mesure de Lebesgue.

Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques.

Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f. En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s’applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$.

Intérêt pratique de l'intégrale de Lebesgue

Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l’intérêt s’est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral :

Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur l'axe réel et supposée continue par morceaux. Alors, pour tout intervalle fermé [a, b], f est Riemann-intégrable et elle admet une primitive continue sur [a, b]. Si F désigne une primitive de f sur [a, b], alors pour tout x dans [a, b] :

$\int_a^x f(u)\mathrm du = F(x)-F(a)\,\! .$

Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » :

Si F est différentiable sur [a, b] et si sa dérivée F' est Riemann-intégrable sur [a, b], alors pour tout x dans [a, b]

$\int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)\,\! .$

Cependant, il existe des fonctions F dérivables sur [a, b] sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.

L'objectif premier de l'intégrale de Lebesgue est de lever cette restriction afin de satisfaire à l'énoncé :

Si F est différentiable sur [a, b] et si sa dérivée F' est bornée sur [a, b], alors, pour tout x dans [a, b], elle est Lebesgue-intégrable sur [a, x] et

$\int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)\,\! .$

Par la suite, d’autres constructions d'une intégrale ont été élaborées (intégrale de Kurzweil-Henstock, Denjoy, Perron, Khintchine, ...) et elles satisfont à l'énoncé plus général

Si F est différentiable sur [a, b], alors, pour tout x dans [a, b], F' est intégrable sur [a, x] et

$\int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)\,\! .$

Historique

Avant les travaux d’Henri Lebesgue, la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'intégrale de Riemann, mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition « efficace » des intégrales dites impropres (par exemple l’intégrale de Dirichlet), difficulté à établir des théorèmes de convergence...

En concevant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann : « Imaginez que je doive payer une certaine somme ; je peux sortir les pièces de mon porte-monnaie comme elles viennent pour arriver à la somme indiquée, ou sortir toutes les pièces et les choisir selon leur valeur. La première méthode est l'intégrale de Riemann, la deuxième correspond à mon intégrale. » Pour comprendre cette phrase, il faut préciser que l'intégration de Riemann « parcourt » le segment et exploite au fur et à mesure la « hauteur » y de la fonction, alors que l'intégration de Lebesgue exploite la « taille » des ensembles de niveau f = y pour toutes les valeurs de y.

Cette théorie s'est avérée particulièrement féconde. Elle a permis (via la théorie des tribus) de formaliser les probabilités, de définir de nombreux espaces fonctionnels extrêmement importants et elle a marqué le début de la théorie de la mesure.

Construction formelle

L'idée générale consiste à définir l'intégrale de fonctions simples (en l'occurrence les fonctions étagées), d’étendre successivement cette notion à toute fonction à valeurs positives, puis finalement à une catégorie plus riches : les fonctions mesurables.

Soit μ une mesure positive pour une σ-algèbre X sur un ensemble E. En analyse réelle, E désigne l'espace euclidien de dimension n ($\mathbb R^n$) ou un sous-ensemble de celui-ci qui est mesurable au sens de Lebesgue ; X désigne la sigma-algèbre de tous les sous-ensembles de E mesurables au sens de Lebesgue, et μ la mesure de Lebesgue. En probabilité et en statistique, μ est une probabilité sur un espace probabilisable E.

L'intégrale de Lebesgue des fonctions définies sur E et à valeurs réelles est construite de la manière suivante :

Soit S une partie de X et soit f la fonction définie sur E qui vaut 1 dans S et 0 en dehors. Cette fonction est appelée fonction indicatrice ou fonction caractéristique de S et est notée 1_S.

La valeur attribuée à ∫ 1_S est conforme à la mesure μ :

$\int 1_S = \mu (S)$

Par linéarité, l’intégrale est étendue à l'espace vectoriel engendré par les fonctions indicatrices (une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices s'appelle une fonction étagée) :

$\int \sum a_k 1_{S_k} = \sum a_k \mu( S_k)$

pour toute somme finie et tous coefficients a_k réels.

Remarquons que l’intégrale ainsi définie pour une fonction qui est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices est indépendante du choix de la combinaison : c'est une condition essentielle à la consistance de la définition (preuve).

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs positives dans la droite réelle achevée (comprenant donc la valeur + ∞). L’intégrale de Lebesgue de f est définie comme étant la borne supérieure de ∫ s pour toute fonction étagée s inférieure à f (s(x) ≤ f(x) pour tout x). Lorsque les ∫ s ne sont pas bornées, alors ∫ f est infinie (ou n’existe pas).

Remarque : cette construction est analogue à celle des sommes inférieures de Riemann, bien qu’elle n’envisage pas de somme supérieure ; ce fait important permet d’obtenir une classe plus générale de fonctions intégrables.

Pour être plus précis, il convient encore de mentionner la mesure et le domaine d'intégration :

$\int_E f\,\mathrm d\mu = \sup_{s~\mathrm{\acute{e}tag\acute{e}e},\; s \le f} \int_E s\,\mathrm d\mu$

L’intégrale est ainsi établie pour toute fonction définie sur E et à valeurs positives. Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions mesurables, soit celles pour lesquelles l'image réciproque de tout intervalle soit dans la tribu X.

Une telle fonction f mesurable sur l'ensemble E et à valeurs réelles (ou ± ∞) se décompose en une différence de deux fonctions g et h positives satisfaisant f(x) = g(x) - h(x). Si ∫ |f| est finie, alors f est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable. Dans ce cas, les deux intégrales ∫ g et ∫ h sont finies et donnent un sens à la définition : ∫ f = ∫ g - ∫ h.

Il est possible de vérifier que cette définition étend la notion d'intégrale de Riemann.

Les fonctions à valeurs complexes peuvent être intégrées de la même manière, en intégrant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

Théorèmes

Toute notion raisonnable d'intégrale doit satisfaire les propriétés de linéarité et de monotonie. L'intégrale de Lebesgue ne fait pas exception : si f et g sont des fonctions intégrables et si a et b sont des nombres réels, alors a f + b g est intégrable et ∫ (a f + b g) = a ∫ f + b ∫ g; si f ≤ g, alors ∫ f ≤ ∫ g.

Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure μ nulle ont la même intégrale, ou plus précisément : si μ({x : f(x) ≠ g(x)}) = 0, alors f est intégrable si et seulement si g est intégrable, et dans ce cas ∫ f = ∫ g.

Toute fonction intégrable à valeurs dans ℝ est finie presque partout, c'est-à-dire que l'ensemble des points où elle prend les valeurs ±∞ est de mesure nulle.

Comparativement à l'intégrale de Riemann, l'un des avantages essentiels de l'intégrale de Lebesgue est la facilité avec laquelle s'effectue un passage à la limite. Les trois théorèmes suivants sont parmi les plus utilisés :

• Théorème de convergence monotone : si (f _k) est une suite de fonctions mesurables positives telles que pour tout k, f_k ≤ f_k+1 et si f = lim f_k, alors la suite de terme général ∫ f_k converge vers ∫ f (remarque : ∫ f peut être infinie ici).
• Lemme de Fatou : si (f _k) est une suite de fonctions mesurables positives et si f = liminf f_k, alors ∫ f ≤ liminf ∫ f_k (à nouveau, ∫ f peut être infinie).
• Théorème de convergence dominée : si (f _k) est une suite de fonctions mesurables convergeant ponctuellement vers une fonction f, et s'il existe une fonction intégrable g telle que pour tout k, |f _k| ≤ g, alors f est intégrable et la suite de terme général ∫ f_k converge vers ∫ f.

Voir aussi

• Intégrale de Riemann
• Intégrale de Daniell
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale de Stieltjes
• Intégrale d'Itô
• Intégrale de Bochner (en)
• Intégrale de Pettis (en)

Bibliographie

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  Connu comme le Grand Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2. MR0210528 [détail des éditions]
   
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