Intervalle semi-fermé

Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble compris entre deux valeurs. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir aux définitions suivantes.

Intervalles de R

Inventaire

Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2,\ a<b$):

• $\{x \in \mathbb{R} ; a < x < b \} = ]a; b[$
• $\{x \in \mathbb{R} ; a \leq x \leq b \} = [a ; b]$
• $\{x \in \mathbb{R} ; a < x \leq b \} = ]a; b]$
• $\{x \in \mathbb{R} ; a \leq x < b \} = [a; b[$

Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.

La notation anglaise "set builder" [1] (doc de matlab ou octave par ex.) utilise la parenthèse dans le 'bon' sens pour les limites ouvertes: (0,1) est alors l'intervalle de 0 à 1, bornes exclues, et rand dans ces outils retourne un résultat dans cet intervalle.

À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :

• $\left\{x \in \mathbb{R} ; x < a\right\} = ]-\infty; a[$
• $\left\{x \in \mathbb{R} ; x \leq a\right\} = ]-\infty; a]$
• $\left\{x \in \mathbb{R} ; x > a \right\} = ]a; +\infty[$
• $\left\{x \in \mathbb{R} ; x \geq a\right\} = [a; +\infty[$

Auxquels se sont ajoutés, pour faire bonne mesure, les intervalles :

• L'ensemble vide $\ \emptyset$
• $\left\{a\right\} = [a; a]$
• $\mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[$

Définition générale

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est une partie $\ I$ de $\mathbb{R}$ vérifiant la propriété suivante:

$\forall x,y \in I,\ \forall z \in \R,\ (x \leq z \leq y) \Longrightarrow (z\in I)$

Un ensemble vérifiant une telle propriété est un ensemble convexe.

Les intervalles de $\mathbb{R}$ regroupent donc toutes les parties convexes de $\mathbb{R}$.

Union et intersection d'intervalles de $\R$

Une intersection d'intervalles de $\R$ est toujours un intervalle. L'intervalle qui découle d'une intersection d'intervalles est composé des éléments (les nombres) qui sont présents à la fois dans le premier intervalle et dans le second intervalle. Par exemple,

• $[-3; 5[ \cap ]- \infty; 2] = [-3; 2]$
• $[-3; 5[ \cap [2; + \infty[ = [2; 5[$
• $[3; 5[ \cap ]- \infty; 2] = \emptyset$

Une union d'intervalles de $\R$ n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de "trou"). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,

• $]- \infty; 2] \cup [-3; 5[= ]- \infty; 5[$
• $[-3; 5[ \cup [2; + \infty[ = [-3; + \infty[$
• $[3; 5[ \cup ]- \infty; 2] = ]- \infty; 2] \cup [3; 5[$ (On préfère ranger les intervalles par ordre croissant de leurs bornes.)

Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.

Connexité et compacité

Les parties connexes de $\R$ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.

Les intervalles fermés c'est-à-dire contenant leurs bornes sont appelés segments. Ce sont les seuls intervalles compacts. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue.

Décomposition des ouverts de R

On montre que tout ouvert de $\R$ peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts.

En analyse et en topologie

Les intervalles sont les parties de $\mathbb{R}$ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité.

On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :

• L'image par une fonction continue d'un intervalle de $\mathbb{R}$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ (théorème des valeurs intermédiaires)
• Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
• Une fonction dérivable est monotone sur un intervalle si et seulement si sa dérivée garde un signe constant sur cet intervalle

Remarque : La fonction $\ f : \R^* \to \R$ définie par $\ f(x) = \frac{|x|}{x}$ est dérivable sur $\ \R^*$, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais $\ f$ n'est pas constante. Ceci tient au fait que $\ \R^*$ n'est pas un intervalle.

Intervalle dans un ensemble muni d'une relation d'ordre total

Dans tout ensemble $\ S$ muni d'une relation d'ordre total $\leq$, on peut définir des intervalles, de la même façon que dans $\mathbb{R}$, comme des ensembles des types suivants :

• $\left\{z \in S ; a < z < b \right\}$, $\left\{z \in S ; a \leq z \leq b \right\}$, $\left\{z \in S ; a < z \leq b \right\}$, $\left\{z \in S ; a \leq z < b \right\}$
• $\left\{z \in S ; z < a\right\}$, $\left\{z \in S ; z \leq a\right\}$, $\left\{z \in S ; z > a \right\}$, $\left\{z \in S ; z \geq a\right\}$
• $\varnothing$, $\quad S$

Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte ;^[1] les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte^[2] et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.

Il est donc tout à fait possible de définir dans $\mathbb{Z}$ l'intervalle des entiers relatifs compris entre $\ -5$ et $\ 3$ mais il serait dangereux de le noter $\ [-5;3]$ sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de $\mathbb{R}$. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs 〚 − 5;3〛.

Ces intervalles $\ I$ vérifient toujours la propriété :

Pour tous éléments $\ a, b$ de $\ I$, on a $[a; b] \subset I$ (convexité d'un intervalle) ,

ainsi que la propriété d'intersection : toute intersection d'intervalles est un intervalle.

Notes et références

1. ↑ Ce n'est qu'un cas particulier, car il peut exister des sections commençantes ouvertes dont a n'est pas la borne supérieure - c'est notamment le cas des coupures de Dedekind qui définissent un nombre réel et n'ont pas nécessairement de borne supérieure dans Q
2. ↑ Remarque analogue : une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure

Articles connexes

• Arithmétique des intervalles

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