Integrale curviligne


Integrale curviligne

Intégrale curviligne

En mathématiques, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe.

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Sommaire

Analyse complexe

L'intégrale curviligne est un des outils de base de l'analyse complexe. Si U est un ouvert du plan complexe, f une fonction continue de U dans C et γ un arc paramétré continûment dérivable tracé de [a,b] dans U on définit l'intégrale de f le long de γ en écrivant une intégrale de variable réelle

\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t.

Lorsque γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident) il arrive qu'on utilise la notation suivante

\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z

Exemple

Soit la fonction f(z)=1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est

\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t
=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i

Extension aux arcs rectifiables

Plus généralement, si γ est un arc rectifiable, on peut définir l'intégrale curviligne

\int_\gamma f(z)\,dz

en introduisant une subdivision de segment [a,b] de la forme a = t0 < t1 < ... < tn = b et en cherchant la limite des expressions de la forme

\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).

lorsque la subdivision a ses longueurs qui tendent vers 0.

Propriétés

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Analyse vectorielle

Pour un champ scalaire f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, l'intégrale curviligne le long de la courbe Γ, paramétrée par r(t) avec t \in [a,b] est définie par :

\int_\Gamma f\ \mathrm{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))  \|\mathbf{r}'(t)\| \mathrm{d}t.

De plus la longueur L de l'arc Γ est donnée par:

L = \int_\Gamma \ \mathrm{d}s.

De même pour un champ vectoriel \mathbf{F} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n la circulation le long de la courbe Γ, paramétrée par r(t) avec t \in [a,b] est définie par :

\int_\Gamma \mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.

Voir aussi

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