Infimum

Infimum
Un ensemble T de nombres réels (représenté par les boules rouges et vertes), un sous-ensemble S de T (les boules vertes) et l'infimum, le plus grand nombre de T inférieur ou égal à tout nombre de S (noter que pour des ensembles finis, l'infimum et le minimum sont égaux.

En mathématiques, l'infimum, ou borne inférieure, du sous-ensemble d'un ensemble est le plus grand élément, n'appartenant pas obligatoirement au sous-ensemble, inférieur ou égal à tout élément du sous-ensemble. En conséquence, on utilise couramment le terme plus grand minorant. Les infima des ensembles de nombres réels constituent un cas particulier courant spécialement important en analyse. Cependant, la définition générale demeure valable dans les applications les plus abstraites de la relation d'ordre, où l'on considère des ensembles partiellement ordonnés arbitraires.

Les infima sont, en un sens précis, duals du concept de supremum.

Sommaire

Infima des nombres réels

En analyse, l'infimum ou plus grand minorant d'un sous-ensemble S de nombres réels, notée inf(S), se définit comme le plus grand nombre réel inférieur ou égal à tout nombre de S. Si un tel nombre n'existe pas (parce que S n'a pas de minorant), alors on définit inf(S) = -∞. Si S est égal à l'ensemble vide, on définit inf(S)= ∞ (voir droite réelle achevée).

Exemples:

\inf\, \{1, 2, 3\} = 1.
\inf\, \{ x \in\R: 0 < x < 1 \}  =  0.
\inf\, \{ x \in\R: x^3 > 2 \} = 2^{1/3}.
\inf\, \{ (-1)^n + 1/n : n = 1, 2, 3, \dots \} = -1.

Si un ensemble a un plus petit élément, comme dans le premier exemple, alors ce plus petit élément est l'infimum de cet ensemble (si l'infimum est contenu dans l'ensemble, alors il est aussi connu comme le minimum). Comme le montrent les trois derniers exemples, l'infimum d'un ensemble n'appartient pas nécessairement à l'ensemble.

Les notions d'infimum et de supremum sont duales dans le sens que : inf(S) = − sup( − S), où -S = \{ -s | s \in S \}.

En général, pour montrer que inf(S) ≥ A, il suffit de montrer que xA pour tout x de S. Montrer que inf(S) ≤ A est un peu plus difficile : pour tout ε > 0, il faut trouver un élément x de S avec xA + ε (bien entendu, si vous pouvez montrer un élément x de S avec xA, vous avez gagné).

Infima des ensembles partiellement ordonnés

La définition des infima se généralise facilement aux sous-ensembles des éléments partiellement ordonnés.

En formalisant, l'infimum d'un sous-ensemble S d'un ensemble partiellement ordonné (P, ≤) est un élément a de P tel que

  1. ax pour tout x de S, et
  2. pour tout y de P, si pour tout x de S, yx, alors ya.

Tout élément avec ces propriétés est nécessairement unique, mais en général, il n'est pas nécessaire qu'un tel élément existe.

En conséquence, les ordres (spécialement les treillis) pour lesquels l'existence de certains infima est connue deviennent spécialement intéressants.

La notion de supremum, ou plus petit majorant, constitue le concept dual de l'infimum. Du principe de dualité de la relation d'ordre, il découle que chaque proposition sur les suprema se transforme automatiquement en une affirmation sur les infima.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Infimum de PlanetMath



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Infimum de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • infimum — [infimɔm; ɛ̃fimɔm] n. m. ÉTYM. Mil. XXe; formation sav., par substantivation du lat. infimum, neutre de infimus. → Infime (attesté en 1940 en anglais). ❖ ♦ Math. Rare. Borne inférieure …   Encyclopédie Universelle

  • Infimum — In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere/untere Schranke, nach oben/unten beschränkt bei der Untersuchung halbgeordneter Mengen auf. Das Konzept der Beschränktheit im Sinn der Existenz von solchen Schranken wird in… …   Deutsch Wikipedia

  • Infimum — In mathematics the infimum of a subset of some set is the greatest element, not necessarily in the subset, that is less than or equal to all elements of the subset. Consequently the term greatest lower bound (also abbreviated as glb or GLB) is… …   Wikipedia

  • Infimum — Ịnfimum   [lateinisch »das Unterste«] das, s/...ma, Abkürzung inf, untere Grenze, Finis inferior, Mathematik: Bezeichnung für die größte untere Schranke einer Menge M reeller Zahlen. Beispiele: Die Menge {x2 8x + 16 | …   Universal-Lexikon

  • infimum — noun /ɪnˈfaɪməm,ɪnˈfijməm/ (of a subset) the greatest element of the containing set that is smaller than or equal to all elements of the subset. The infimum may or may not be a member of the subset. Syn: greatest lower bound Ant: supremum …   Wiktionary

  • Infimum — In|fi|mum das; s, ...ma <aus lat. infimum, eigtl. »Unterstes« zu infimus »Unterster, Niedrigster«> untere Grenze, größte untere Schranke einer Menge von Zahlen (Math.) …   Das große Fremdwörterbuch

  • infimum — /in fuy meuhm, fee /, n. Math. See greatest lower bound. Abbr.: inf [1935 40; < L, n. use of neut. of infimus lowest (superl. of inferus low)] * * * …   Universalium

  • infimum — [ɪn fʌɪməm] noun Mathematics the largest quantity that is less than or equal to each of a given set or subset of quantities. The opposite of supremum. Origin 1940s: from L., lit. lowest part …   English new terms dictionary

  • Infimum — In|fi|mum, das; s, ...ma <lateinisch> (Mathematik untere Grenze einer beschränkten Menge) …   Die deutsche Rechtschreibung

  • infimum — /in fuy meuhm, fee /, n. Math. See greatest lower bound. Abbr.: inf [1935 40; < L, n. use of neut. of infimus lowest (superl. of inferus low)] …   Useful english dictionary

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”