Inegalite de Sundman

Inégalité de Sundman

L'inégalité de Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste :

$\ T > \frac{L^2+J^2}{2I}$

• Avec le théorème du viriel :

$\frac{d^2I}{dt^2} = 4T-2V$, [notations ci-dessous]

elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

Notations

• Le mass scalar product est utilisé : $x = (\vec r_1,\vec r_2 ,\cdot \cdot \cdot,\vec r_N )$

$x'\cdot x''=\sum_{i=1}^3{m_i<\vec r'_i,\vec r''_i>}$

• Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (gràce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.

• $I = x\cdot x$ est le moment d'inertie par rapport à G.

La moitié de sa dérivée temporelle $\dot I /2 == J = x\cdot \dot x$

• Le théorème du viriel est :$\dot J = 2T + V = 2H_o -V$

où $2T = \dot x \cdot \dot x$ est 2.E(cinétique) toujours positive  ; et $\ V(x)$, l'énergie gravitationnelle des N points, toujours négative.

Bien sûr, le Lagrangien est T- V.

L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ( {y} est l'ensemble des quantités de mouvement)

• Le moment cinétique orbital total est :$\vec L=\sum_{i=1}^3{m_i\vec r_i\wedge\frac{d\vec r_i}{dt}}$ = cste (isotropie d'espace)

L'inégalité $L^2 < \sum_{i=1}^3 {\vec L_i}^2 < 2I\cdot T$ conduit à :

$\ T > L^2/2I$, le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge (Leibniz 1689).

L'inégalité de Sundman

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :

$\ T > L^2/2I + J^2/2I$

On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate (resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la "déformation de la configuration" (par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit)

Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle, et les formules usuelles des distances mutuelles ; on pose D = max(a, b, c) et d = min(a, b, c).

On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3

Il s'ensuit que : $I.M = [a^2/m_1 + b^2/m_2+c^2/m_3 ]\cdot M_3^3$

Donc $I < [\frac{P}{M}]D^2$

et $I > [\frac{m_3^2}{M}]d^2$.

Soit :

$A\cdot \sqrt I < d<D < B\cdot \sqrt I$

Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne : $\frac{C}{-V} < d<D < \frac{D}{-V}$

Et par conséquent $\ I\cdot V^2$ jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.

Théorème de Jacobi

Pour un système stable (existent cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t)), Eo est négative. démonstration : I" =4T + 2 V ⇒ viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2 >0

et si Eo>0 , le système est ouvert : D→infty : en effet I" >0 démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)

Attention : si Eo<0 , cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher, et la troisième partir à l'infini doucement.

Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)

Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0 demonstration : pour avoir I(t0) =0 , V(t0)= -infty, donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to, donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste; donc I(t) reste borné sauf si L=0

Fonction de Sundman

On introduit par généralisation du problème à 2 corps les notations :

$\ a == -GP/2E_0$, appelé demi-grand axe, constant.

$\ p == M L^2/GP$, appelé paramètre, constant.

$\ R == \sqrt{MI/P}$, en gros la taille, variable.

$\ r == - GP/V$, environ la petite taille, variable.

avec les inégalités usuelles de convexité :

$\ 0<d < r < R < D$ (soit $\ IV^2 > G^2P^3/2M$)

$|BC| < R \cdot \sqrt{ P/M \cdot \frac{m_2+m_3}{m_2m_3}}$

Le viriel devient : $\ddot{R^2}/2R== \ddot R + ( \dot R)^2/R = (GM/R)(1/r -1/a)$

La fonction de Sundman S(t) est :

$2S(t) = R/a + p/R + \dot{R}^2 /(GM/R)$

L'inégalité de Sundman devient : $\ R/r -S(t) > 0$ ⇒

$\dot S(t) = \frac{dLnR}{dt} \cdot [R/r -S(t)]$ ,

donc R varie comme S(t).

conséquences

L'inégalité triangulaire s'écrit : $\ t == 2R/r - R/a - p/R >0$

d'où $R/r > \sqrt{p/a}$, soit

$\ V^2 - (L^2/2I)(-E_o) > 0$

D'autre part on en déduit $\ r < 2a$, ce qui semble naturel, mais fait intervenir la décomposition d'Eckart des vitesses :

$\dot{\vec{r_i}} = \vec{L_o}/I \wedge \vec{r_i}+ \lambda \vec{r_i}$

avec $\lambda^2 == GM/R^2\cdot[t/R]$,

donc en fait, ce n'est pas si simple à démontrer (les chimistes appellent ce référentiel tournant le référentiel d'Eckart ; en astronomie c'est le SAM de Saari).

le cas intéressant est celui dit de la binaire de Hill : si p>> a, le système tourne très vite à |énergie| faible, alors le système restera toujours une binaire serrée autour de laquelle tourne la troisième étoile (qui peut ou non s'échapper).

L'habitude veut que l'on représente les iso (R/r) qui ressemblent vaguement à la surface de Hill du problème restreint( m3<< m1 et m2), dans le référentiel où AB est pris comme axe des x, et C joue le rôle de troisième étoile ; mais cette représentation est un peu fallacieuse, car elle ne met pas en exergue le rôle symétrique des trois masses.

la description des destins par Chazy et Alexeev

Références

• Sundman K.F., Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912)
• scholarpedia : Three_Body_Problem

• Marchal : the three body problem, Elsevier1990, (ISBN 0-444-87440-2)
• Saari : CMBS 104, AMS 2005, (ISBN 0-8218-3250-6)
• AKN : Celestial mechanics, Springer 1997 , (ISBN 3-540-61224-6)

Voir aussi

• problème à N corps
• Perturbation du mouvement keplerien
• Théorème du viriel

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