Algèbre Normée

Algèbre normée

Une algèbre normée $\mathbb A$sur le corps K=$\mathbb R$ ou $\mathbb C$ est une K-algèbre muni d'une norme, c'est-à-dire d'une application $x\mapsto \|x\|$ de $\mathbb A$ dans $\mathbb R_+$ vérifiant

• $\forall x\in\mathbb A\quad \forall y\in\mathbb A\qquad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$
• $\forall x\in\mathbb A\quad \forall y\in\mathbb A\qquad \|x*y\|\le\|x\|*\|y\|$
• $\forall \lambda\in K\quad \forall x\in\mathbb A\qquad \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
• $\forall x\in \mathbb A\qquad (\|x\|=0\quad\Rightarrow\quad x=0)$

En d'autres termes, il s'agit d'une K-algèbre telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

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