Indice de Theil


Indice de Theil

L’indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon.

  • Un indice de 0 indique une égalité absolue.
  • Un indice de 0.5 indique une inégalité représentée par une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources.
  • Un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources[1].

Sommaire

Formule

Illustration de la relation entre l'indice de Theil T et l'indice de Hoover H (différence T-H et quotient T/H) pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A% des peuples ont B% des ressources et B% des peuples ont A% de toutes les ressources. A+B=100%. Pour de telles sociétés, l'indice de Hoover et le coefficient de Gini sont les mêmes mesures. T=T_T=T_L=T_s = 2 H \, \operatorname{argtanh} \left( H \right)\,

Formule[2] pour l'indice de Theil \displaystyle{} T :

  • N : Nombre des quantiles
  • Ei : ressources pour le quantile i,
  • Ai : effectif dans le quantile i,
  • Etotal : ressources pour tous les quantiles dans une société (une nation, etc.),
  • Atotal : effectif de la société (de la nation, etc.).



T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}}}{{E}_\mathrm{total}}


En cas de E'i = Ei / Etotal et A'i = Ai / Atotal:


\color{Gray} T_T = 0 - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}^N {{E}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}

C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. Le partie à droite est l'entropie actuelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information[3], une telle différence est la redondance.


L'inégalité par référence à la population :


T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}}}{{A}_\mathrm{total}}


En cas de E'i = Ei / Etotal et A'i = Ai / Atotal:


\color{Gray} T_L = 0 - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}^N {{A}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}

L'opération[4] pour normaliser les indices de Theil est \displaystyle 1 - e^{-T}

L'indice de Theil et indice de Hoover

La moyenne de ces deux formules[5] est un indice symétrique :


T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \color{Black} \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right) \color{Black}


La moyenne est très convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.


H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \left| \color{Black} \frac{E_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right| \color{Black}

Décomposition

Si pour les sous-groupes k les sous-indices de Theil sont connus :


T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \left( \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}} - T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}



T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}



T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \right) + \frac{{E}_i}{E_\text{total}} T_{T_i} + \frac{{A}_i}{A_\text{total}} T_{L_i}

Fonction de bien-être

Il est possible de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996)[6] par cette formule :

W_\mathrm{Theil-L} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}^{-T_L} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}^{-T_L} = \mathrm{e}^{\frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}^N \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}^{-T_{L_i}} \right)^{\frac{{A}_i}{{A}_\mathrm{total}}}

Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu Ei de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est toujours plus petite que le revenu moyen.

Si on prend un du revenu total de cette société, cet sera part d'un revenu Ei plus grand que le revenu moyen :

W^{-1}_\mathrm{Theil-T} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}^{T_T} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}^{T_T} = \mathrm{e}^{\frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} + T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}^N \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}^{T_{T_i}} \right)^{\frac{{E}_i}{{E}_\mathrm{total}}}

Références

  1. Exemple (voir aussi: Loi de Pareto): 82,4 % des peuples ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des peuples ont 82,4 % de toutes les ressources : http://www.poorcity.richcity.org/calculator/?quantiles=82.4,17.6%7C17.6,82.4
  2. E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)
  3. ISO/IEC DIS 2382-16:1996
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005
  5. Elhanan Helpman: The Mystery of Economic Growth, 2004, ISBN 0-674-01572-X (Ces deux formules pour TT et TL sont similaires aux formules page 150.)
  6. James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, ISBN 0-19-828193-5

Voir aussi

Littérature

  • Amiel, Y.: Thinking about inequality, Cambridge 1999.
  • Cowell, Frank A. (2002, 2003): Theil, Inequality and the Structure of Income Distribution, London School of Economics and Political Sciences (sur la classe des indices de Kolm)
  • Sen, Amartya: On Economic Inequality (Enlarged Edition with a substantial annexe “On Economic Inequality” after a Quarter Century with James Foster), Oxford 1997, ISBN 0-19-828193-5
  • Tsui, Kai-Yuen (1995): Multidimensional Generalizations of the Relative and Absolute Inequality Indices: The Atkinson-Kolm-Sen Approach. Journal of Economic Theory 67, 251-265.

Liens externes



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