Impédance (électricité)

Pour les articles homonymes, voir Impédance.

L'impédance électrique mesure l'opposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. La définition d'impédance est une généralisation de la loi d'Ohm dans l'étude des circuits en courant alternatif.

Le mot impédance fut inventé par Oliver Heaviside en juillet 1886. Il vient du verbe anglais to impede signifiant "retenir", "faire obstacle à" ; verbe qui dérive lui-même du latin impedire qui veut dire "entraver".

Selon le vocabulaire et les notations normalisés par la commission électrotechnique internationale (IEC) , L'impédance d'un dipôle linéaire passif de bornes A et B est définie en régime sinusoïdal de courant et de tension par le quotient du nombre complexe image du phaseur $\underline U_{AB}$, représentant la tension entre les bornes, par le nombre complexe image du phaseur $\underline I$ représentant le courant électrique à travers le dipôle ^[1]

$\underline Z = \frac{\underline U_{AB}}{\underline I}$,

Le formalisme des impédances établit quelques règles de calculs des potentiels et des intensités du courant en tout point d'un circuit alimenté par diverses sources et comportant des éléments inductifs et capacitifs idéalisés. Les méthodes de calcul sont alors similaires à celles utilisées pour les circuits en courant continu.

Définitions et notations

Représentation des signaux par des nombres complexes

Article détaillé : Transformation complexe.

Impédance, résistance et réactance

Représentation graphique, dans le plan complexe, de l'impédance $\scriptstyle{\underline Z}$, la résistance R et la réactance X

L'impédance est un nombre complexe, en général noté $\scriptstyle{\underline Z}$.

L'IEC préconise de nommer le module de l'impédance $\underline Z$ par le terme impédance apparente , noté $Z \,$^[2].

Soit un composant électrique ou un circuit alimenté par un courant sinusoïdal $\scriptstyle{I_\circ\cos(\omega t+ \varphi_i)} \,$. Si la tension à ses bornes est $\scriptstyle{V_\circ\cos(\omega t + \varphi_v)} \,$, l'impédance du circuit ou du composant est définie comme le nombre complexe dont le module est égal au rapport $\scriptstyle{V_\circ\over I_\circ} \,$ et dont l'argument est égal à $\scriptstyle{\varphi} = \scriptstyle{\varphi_v} - \scriptstyle{\varphi_i}\,$.

$\begin{matrix} & |\underline Z| & = {V_\circ\over I_\circ} \\ arg &(\underline Z) & = \varphi_v - \varphi_i = \varphi \end{matrix} \,$

soit $\underline Z= \textstyle{{V_\circ\over I_\circ}}e^{j\varphi}= \textstyle{{V_\circ\over I_\circ}}\left( \cos\varphi + j\sin\varphi\right)$

Le module de l'impédance est homogène à une résistance et se mesure en ohms.

Souvent, on utilise par abus de langage le terme impédance pour désigner son module.

Une impédance peut être représentée comme la somme d'une partie réelle plus une partie imaginaire :

$\underline Z= R+jX \,$

$\scriptstyle{R}$ est la partie résistive et $\scriptstyle{X}$ est la partie réactive ou réactance.

Une impédance dont la partie imaginaire est positive sera qualifiée d'inductive. Si la partie imaginaire est négative, on parle d'impédance capacitive.

Admittance, conductance et susceptance

Voir article principal admittance. L'admittance est l'inverse de l'impédance :

$Y= \textstyle{1\over Z}$

La conductance est la partie réelle de l'admittance et la susceptance est la partie imaginaire de l'admittance. L'admittance, la conductance et la susceptance se mesurent en siemens. Un siemens est l'inverse d'un ohm.

Règles de calcul de circuits avec les impédances

Avec ce qui vient d'être dit, on peut calculer des circuits comprenant des impédances de manière similaire a celle utilisée pour le calcul avec des résistances en courant continu. Le résultat du calcul d'une tension ou d'un courant est, en général, un nombre complexe. Ce nombre complexe s'interprète de la façon suivante :

• Le module indique la valeur de la tension ou du courant calculé. Si les valeurs utilisées pour les sources étaient des valeurs crête, le résultat sera aussi une valeur crête. Si les valeurs utilisées étaient des valeurs efficaces, le résultat sera aussi une valeur efficace.
• L'argument de ce nombre complexe donne le déphasage par rapport à la source utilisée comme référence de phase. Si l'argument est positif, la tension ou le courant calculés seront en avance de phase.

Calculs d'impédances équivalentes

Le calcul de l'impédance équivalente d'un ensemble d'impédances se traite comme les résistances avec la loi d'Ohm.

Impédances en série

Ensemble de n impédances en série.

L'impédance équivalente à un ensemble d'impédances en série est égale à la somme des impédances des éléments :

$Z = Z_1+Z_2 + \cdots + Z_n$

Impédances en parallèle

Ensemble de n impédances en parallèle.

Lorsque les dipôles sont placés en parallèle, ce sont les admittances qui s'additionnent. L'admittance équivalente à un ensemble d'admittances en parallèle est égale à la somme des admittances des éléments.

$Y = Y_1+Y_2 + \cdots + Y_n$

L'admittance étant l'inverse de l'impédance il en résulte que :

$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_n}$

Donc l'impédance équivalentes à un ensemble d'impédances en parallèle est égale à l'inverse de la somme de leurs inverses :

$Z=\textstyle{1 \over {{1\over Z_1}+{1\over Z_2}+\cdots +{1\over Z_n}}}$

Loi d'Ohm généralisée

La tension aux bornes d'une impédance est égale au produit de l'impédance par le courant :

$V_z=Z\,I_z\,$

Aussi bien l'impédance que le courant et la tension sont, en général, complexes.

Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff s'appliquent de la même manière qu'en régime de tension et de courant continu : « la somme des courants arrivant sur un nœud est nulle » et « la somme des tensions autour d'une maille est nulle », mais les courants et les tensions sont représentés par des nombres complexes.

Validité des règles de calcul

Ces règles ne sont valables que :

• En régime sinusoïdal établi, c’est-à-dire avec des sources de tension et de courant sinusoïdales et une fois les phénomènes transitoires de départ disparus.
• Avec des composants supposés linéaires, c’est-à-dire des composants dont l'équation caractéristique (relation entre la tension à leurs bornes et l'intensité du courant qui les traverse) est assimilée à une équation différentielle à coefficients constants. Des composants non linéaires comme les diodes sont exclus. Les bobines à noyau ferromagnétique donneront seulement des résultats approchés et ce, à condition de ne pas dépasser les valeurs d'intensité au-dessus de laquelle leur fonctionnement ne peut plus être considéré comme linéaire suite à la saturation qui intervient dans ces matériaux.

Si toutes les sources n'ont pas la même fréquence ou si les signaux ne sont pas sinusoïdaux, on peut décomposer le calcul en plusieurs étapes à chacune desquelles on pourra utiliser le formalisme d'impédances.

Impédance des dipôles élémentaires

Afin de modéliser la réalité on utilise trois types de composants idéaux élémentaires.

Résistance idéale

L'impédance d'une résistance idéale R est égale à R :

$Z_R= R\,$.

C'est le seul composant à avoir une impédance purement réelle.

Bobine idéale

L'impédance d'une bobine d'inductance L est :

$Z_L= j\omega L \,$

où ω est la pulsation du signal. Contrairement au cas précédent, cette impédance est purement imaginaire et dépend de la fréquence du signal.

Condensateur idéal

L'impédance d'un condensateur idéal de capacité C est :

$Z_C={1\over j\omega C}\,$.

Composants réels

Les composants réels sont approchés par des modèles construits sous la forme d'impédances d'expressions complexes qui dépendent généralement de la fréquence et de l'amplitude du courant qui les traverse. Pour tenir compte des effets de la fréquence il faut généralement ajouter au modèle des dipôles élémentaires en série ou en parallèle. Par exemple, une résistance réelle présente, en général, une inductance en série avec sa résistance. Une résistance bobinée ressemble à une inductance et elle présente une valeur d'inductance significative. En haute fréquence, il est nécessaire d'adjoindre à ce modèle un condensateur en parallèle pour tenir compte des effets capacitifs existants entre deux spires contigües.

De même, un condensateur et une bobine réels peuvent être modélisés en ajoutant une résistance en série ou en parallèle avec la capacité ou l'inductance pour tenir compte des défauts et pertes. Il faut même parfois ajouter des inductances au modèle d'un condensateur réel et des capacités au modèle d'une bobine. Ces modélisations des écarts par rapport au modèle simple utilisé en basse fréquence peuvent devenir prédominant au-delà d'une certaine valeur de la fréquence.

Dans certains cas, il arrive qu'on ajoute une résistance dont la valeur dépend de la fréquence afin de tenir compte de l'évolution des pertes avec cette dernière.

D'une manière générale, il faut se souvenir qu'un modèle à toujours un domaine de validité.

Impédance interne d'un générateur

Pour rendre compte des chutes de tension et des échauffements internes constatés lors de l'utilisation d'un générateur électrique de tension ou de courant sinusoïdal, le plus souvent un alternateur ou un transformateur, on modélise ce générateur réel par l'association d'un générateur idéal et d'une impédance appelée impédance interne du générateur.

Modèle de Thévenin

Le modèle de Thévenin est le plus fréquent en électrotechnique (modèle de Kapp du transformateur ou modèle de Behn Eschenburg de l'alternateur) car il permet à la fois de rendre compte des pertes par effet joule et de la chute de tension en charge. On associe en série un générateur de tension idéal avec une impédance inductive.

Modèle de Norton

Le modèle de Norton associe en parallèle un générateur de courant idéal avec une impédance ou une admittance. Ce modèle n'a pas les mêmes pertes par effet joule que le montage qu'il modélise, c'est pourquoi il est principalement utilisé comme intermédiaire de calcul pour analyser la mise en parallèle de générateurs réels.

Modèles plus complexes

Certains générateurs doivent être modélisés par des associations plus complexes de sources de puissance et d'impédances. Par exemple, le modèle le plus simple de la machine asynchrone utilisée en génératrice est constitué de l'association d'une résistance négative - elle fournit donc de la puissance - dont la valeur est liée au glissement, en série avec une inductance. Cet ensemble est en parallèle avec une impédance inductive assimilée à une inductance pure (bobine idéale). Ce modèle doit être alourdi si l'on souhaite prendre en compte les pertes magnétiques et les pertes par effet Joule au stator.

Impédance et quadripoles

Article détaillé : Quadripôle.

Impédances d'entrée et de sortie

Un quadripôle chargé en sortie par une impédance de charge donnée se comporte, vu depuis ses bornes d'entrée, comme un dipôle passif dont on peut définir et mesurer l'impédance. Celle-ci est appelée impédance d'entrée du quadripôle^[3].

Ligne de transmission

L'impédance caractéristique d'une ligne de transmission idéale (c'est-à-dire sans perte) est définie par

$Z_c = \sqrt{ \frac{L}{C} }$

où L et C sont respectivement l'inductance et la capacité par unité de longueur de la ligne. Elle est indiquée dans les catalogues des constructeurs. Elle dépend :

• des dimensions des conducteurs, et de leur espacement ;
• de la constante diélectrique de l'isolant, dans la ligne coaxiale.

Valeurs typiques de l'impédance caractéristique :

• 50 ou 75 ohms pour une ligne coaxiale ;
• 300 ohms pour une ligne bifilaire.

L'utilisation d'une ligne de transmission est principalement la transmission d'énergie électrique qui par une modulation appropriée supporte une information. La bonne transmission de cette information suppose le bon transfert de l'énergie ce qui suppose une bonne adaptation des impédances à l'entrée et la sortie du câble. Cette bonne adaptation se produit quand l'impédance des terminaisons est égale à l'impédance caractéristique du câble. Dans le cas contraire le transfert d'énergie n'est pas total et l'énergie non transférée fait demi tour ce qui présente des inconvénients par rapport au but recherché. C'est pour cela que quelques valeurs d'impédances caractéristiques ont été choisies pour faciliter le travail des concepteurs dans l'utilisation des câbles coaxiaux et de leur terminaison. (construction d'antennes, composants standards)

Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est un nombre complexe :

$Z_c = \sqrt{ \frac{R+j\omega L}{G+j\omega C} }$

où R et G sont respectivement la résistance et la conductance de pertes par unité de longueur.

On remarque que à haute fréquence ($\scriptstyle{\omega }$ assez grand) R et G sont négligeables devant $\scriptstyle{j\omega l}$ et $\scriptstyle{j\omega c}$ d'où la bonne approximation sur une ligne réelle à haute fréquence de $Z_c = \sqrt{ \frac{L}{C} }$

Détermination pratique de l'impédance caractéristique: elle dépend des paramètres physiques de la ligne. Par exemple, pour un câble coaxial, Zc dépend du rapport des diamètres du conducteur intérieur et du conducteur extérieur, ainsi que de la constante diélectrique de l'isolant. Les valeurs normalisées ont été adoptées parce qu'elles minimisent les pertes par effet Joule. Pour une ligne imprimée micro-ruban, l'impédance caractéristique dépend du rapport entre la largeur du ruban ( W), de l'épaisseur ( h) de l'isolant entre le ruban et le plan de masse, et de la constante diélectrique de l'isolant.

Adaptation d'impédances

Article détaillé : Adaptation d'impédances.

L’adaptation d'impédances est une technique en électricité permettant d'optimiser le transfert d'une puissance électrique entre un émetteur (source) et un récepteur électrique (charge)^[4] :

• Dans le cas de quadripôles en cascade, l'impédance du récepteur doit être très grande par rapport à celle de l'émetteur. Le rendement est ainsi optimisé lorsqu'on a une désadaptation maximale.
• La théorie de la puissance maximum détermine que l'impédance de la charge doit être le complexe conjugué de l'impédance du générateur.
• En présence d'une ligne de transmission, l'impédance du récepteur doit être égale à l'impédance caractéristique de celle-ci pour éviter les réflexions.

Méthodes de mesure d'une impédance

Montages en pont

Il existe de très nombreux montages en pont, analogues au pont de Wheatstone utilisé pour la mesure des résistances, qui permettent de mesurer des impédances. Pont de Sauty Pont de Maxwell ...

Appareils de mesure électroniques

Il existe une grande variété d'appareils commerciaux plus ou moins sophistiqués permettant de mesurer l'impédance d'un composant ou d'un dipôle. On les trouve sous les noms d'« analyseur d'impédance », « pont RLC », « pont de mesure électronique » etc.

Ils sont constitués d'un générateur de courant sinusoïdal créé à l'aide de la tension de sortie d'un oscillateur ajustable. Ce courant traverse le dipôle à mesurer et la décomposition de la tension à ses bornes en une composante en phase et l'autre en quadrature avec la tension délivrée par l'oscillateur permet de déterminer les parties réelle et imaginaire de l'impédance. La pulsation étant connu il est possible à partir de la réactance d'afficher L ou C.

Les appareils les plus simples fonctionnent avec un oscillateur délivrant une tension d'amplitude et de fréquence fixe (souvent 1 kHz). Une composante continue est parfois ajoutée pour la mesure des condensateurs électrochimiques. Bien que les notices techniques indiquent des précisions de l'ordre du pourcent, il faut garder à l'esprit que la modélisation d'un dipôle par un modèle série (résistance Rs et réactance Xs) ou parallèle (résistance Rp et réactance Xp) dépend beaucoup de l'amplitude et de la fréquence de la tension à ses bornes. Certains ponts d'impédance automatiques permettent de régler ces paramètres.

Comme pour les ohmmètres, il est parfois nécessaire de prendre des précautions de câblage : montage 4 fils ou utilisation d'une garde (blindage des fils de connexion par une enveloppe conductrice dont le potentiel est maintenu à une certaine valeur afin de limiter les erreurs dues aux impédances parasites).

Techniques expérimentales basées sur la mesure de l'impédance

Spectroscopie d'impédance - généralités

Article détaillé : Spectroscopie d'impédance.

La spectroscopie d'impédance est un terme général qui recouvre l'ensemble des techniques consistant à mesurer et analyser l'impédance électrique d'un échantillon, en général en fonction de la fréquence, de manière à en tirer des informations sur ses propriétés physicochimiques^[5]. On parle également de spectroscopie diélectrique, quand elle est appliquée à des matériaux diélectriques.

Spectroscopie d'impédance électrochimique

Article détaillé : Spectroscopie d'impédance électrochimique.

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Applications médicales

Article détaillé : Impédancemétrie.

Les balances impédancemètres permettent de séparer la masse graisseuse et la masse maigre lors d'une pesée. Aujourd'hui disponible commercialement, ces appareils exploitent les différences de conductivité entre ces différents tissus pour remonter à cette information^[6].

La pneumographie d'impédance est une technique permettant de suivre les mouvements respiratoires (variations de volume des poumons) par les variations d'impédances entre des électrodes placées de manière appropriée^[7],[8].

La tomographie d'impédance électrique est une technique d'imagerie du corps humain par laquelle on reconstitue une image en trois dimensions à partir de multiples mesures d'impédances entre des électrodes placées sur la peau.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Adaptation d'impédances » (voir la liste des auteurs).

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Impédance caractéristique » (voir la liste des auteurs).

1. ↑ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=131-12-43
2. ↑ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=131-12-44
3. ↑ Cours d'électrotechnique sur le site de l'université du Maine
4. ↑ (en) Conjugate matching versus reflectionless matching [PDF]
5. ↑ (en) J. Ross MacDonald, « Impedance spectroscopy », dans Annals of Biomedical Engineering, vol. 20, 1992, p. 289-305 [lien DOI] . Texte également disponible sur le site de l'auteur
6. ↑ Description de la méthode sur le site www.balance-impedancemetre.com
7. ↑ Définition sur le site de l'IEC
8. ↑ Michael Obladen, Soins intensifs pour nouveau-nés, Paris, Springer, 1998 [lire en ligne], p. 73 

Voir aussi

• Admittance
• Impédance inductive
• Adaptation d'impédances
• Impédance caractéristique
• Impédance caractéristique du vide
• Haute impédance
• Surface à haute impédance
• Impédancemétrie