Groupe totalement ordonné

Groupe ordonné

En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d'une ensemble $\mathcal{G}$, muni d'une loi de composition interne (notée $\star$ dans l'article) lui conférant une structure de groupe, et d'une relation d'ordre (notée $\leq$ dans l'article) compatible avec la loi de groupe.

Définition de la compatibilité de l'ordre avec la loi de groupe

Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre $\leq$ est compatible avec la loi $\star$ si, pour tous éléments x, y et g du groupe $\mathcal{G}$, la relation $x\leq y$ entraîne les relations $g\star x\leq g\star y$ et $x\star g\leq y\star g$.

Propriétés

• Dans un groupe ordonné $\mathcal{G}$, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités $x\leq y$ et $x'\leq y'$ entraînent l'inégalité $x\star x'\leq y\star y'$.

En clair, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité $x\leq y$ entraîne $x\star x'\leq y\star x'$. De même, l'inégalité $x'\leq y'$ entraîne $y\star x'\leq y\star y'$. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.

• Dans un groupe ordonné $\mathcal{G}$, pour tous éléments x et y d'inverses respectifs, pour la loi $\star$, x ^{− 1} et y ^{− 1}, l'inégalité $x\leq y$ entraîne l'inégalité $y^{-1}\leq x^{-1}$.

En clair, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens. Pour le voir, il suffit, dans l'inégalité $x\leq y$, de composer par y ^{− 1} à gauche et par x ^{− 1} à droite.

Groupe totalement ordonné

On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.

Exemples

• Le groupe additif $(\mathbb{Z},+)$ des entiers relatifs, muni de la relation d'ordre habituelle, est un groupe abélien totalement ordonné.

• Le groupe multiplicatif $\left(\mathbb{R}_+^*,\times\right)$ des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné.

• Mais le groupe multiplicatif $\left(\mathbb{R}^*,\times\right)$ des réels non nuls n'est pas un groupe ordonné. En effet, on a par exemple $-2\leq 2$, mais en passant à l'inverse, on a $\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}$. Cela est à relier au fait que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ tout entier.

Voir aussi

• Groupe
• Relation d'ordre
• Ordre total
• Corps ordonné
• Axiome d'Archimède

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