Groupe ordonné

Groupe ordonné
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Un groupe ordonné est un groupe muni d'une relation d'ordre respectée par les translations.

Sommaire

Définitions

Soit (G,.) un groupe (la loi du groupe étant notée multiplicativement) et ≤ une relation d'ordre sur G. On dit que celle-ci est compatible avec la loi du groupe lorsque pour tous éléments x, y et z du groupe , la relation xy entraîne les deux relations zxzy et xzyz. Un groupe ordonné est un ensemble muni simultanément d'une loi de groupe et d'une relation d'ordre compatible[1]. On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.

Exemples

  • Le groupe multiplicatif \left(\mathbb{R}_+^*,\times\right) des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné, isomorphe à (\mathbb{R},+) via l'exponentielle.
  • Le groupe abélien additif des fonctions continues de \mathbb{R} vers \mathbb{R} est un groupe ordonné qui n'est pas totalement ordonné[1].

Propriétés

  • Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités xy et x'≤ y' entraînent l'inégalité xx'≤ yy'.

Dit autrement, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité xy entraîne xx'≤ yx'. De même, l'inégalité x'≤ y' entraîne yx'≤ yy'. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.

  • Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x et y, l'inégalité xy entraîne l'inégalité y-1x-1.

Dit autrement, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens[1]. Pour obtenir ce résultat, il suffit de multiplier l'inégalité xy par y-1 à gauche et par x-1 à droite.

Voir aussi

Références

  1. a, b, c et d T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005 (ISBN 1-85233-905-5) , p. 143

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe ordonné de Wikipédia en français (auteurs)

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