Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition mathématique

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et x₀ un point de X. Soit $\mathcal{B}^i$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien $\mathbb{R}^i$. Son bord $\partial \mathcal{B}^i = \mathcal{S}^{i-1}$ est la sphère unité de dimension i − 1.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur π_i(X,x₀) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à $\mathcal{S}^{i-1}$ d'applications continues $f : \mathcal{B}^i\to X$ telle que : $f(\mathcal{S}^{i-1}) = \{x_0\}$.

Un élément de π_i(X,x₀) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i − 1)-sphère vers le point de référence $x_0\in X$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à $\mathcal{S}^{i-1}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point s₀, on obtient une sphère $\mathbb{S}^i$ et chaque élément de π_i(X,x₀) se définit par les classes d'homotopie des applications $\mathbb{S}^i\to X$ par lesquelles le point base s₀ de la sphère se transforme en x₀. On peut dire que les éléments du groupe π_i(X,x₀) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications $\mathbb{S}^i\to X$ pour lesquelles on a : $s_0\mapsto x_0$.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque $\mathbb{D}^i$ avec le cube $\mathbb{I}^i=[0; 1]^i$ de dimension i dans $\mathbb{R}^i$.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube $f,g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0)$ est l'application $f+g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0)$ définie par la formule :

$(f + g)(t_1, t_2,\ldots, t_i) = f(2t_1, t_2, \ldots, t_n)$ pour $t_1\in [0 ; {1\over 2}]$

et

($f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n$) pour $t_1\in [{1\over2} ; 1]$.

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si $i\geqslant 2$.

On définit donc un groupe commutatif si $i\geqslant 2$.

On obtient le groupe fondamental si i = 1

Propriétés et outils

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité

• V. suite exacte et fibrations

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Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

• V. suite exacte

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Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés π_i(X,A,x₀) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés H_i(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel $h_n\ :\ \pi_n(X,A,*)\to H_n(X,A)$.

Si $A\sub X$ sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, $n\geq 2$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que H_i(X,A) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ω(β) − β avec $\omega\in\pi_1(A,*)$ et $\beta\in\pi_n(X,A,*)=1$ ; en particulier, si π₁(A, * ) = 1, alors h_n est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, $n\geq 2$, on a H_i(X, * ) = 0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz

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Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott

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Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le π₁

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que $i\geqslant 2$ (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental est commutatif. L'action du π₁ sur les π_i est triviale.

Bibliographie en français

• Boris Doubrovine, Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications [détail des éditions], vol. 2 et 3
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, Jacques Gabais, vol. 9