Groupe Libre

Groupe libre

Le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application ensembliste f de S dans G, il existe un unique morphisme de groupe de F dans G prolongeant f.

Soit encore, un groupe G est dit libre s'il existe un sous-ensemble S de G tel que chaque élément de G puisse être écrit d'une unique façon sous la forme d'un produit d'un nombre fini d'éléments de S et de leur inverse. Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui jusitifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera F_S ou L(S). Intuitivement, F_S est le groupe engendré par S sans relation entre les éléments de S.

Attention : cette notion diffère de celle de groupe abélien libre.

Histoire

Walther von Dyck étudie en 1882 le concept de groupe libre, sans y donner de nom, dans son article Gruppentheoretishe Sudien (Étude de la théorie des groupes) publié dans Mathematische Annalen (annales mathématiques). Le terme de groupe libre a été introduit par Jakob Nielsen en 1924.

Construction

Introduisons un ensemble S' équipotent à S et disjoint de S. Il existe alors une bijection de S vers S'. Pour chaque élément s de S, on note s' l'élément correspondant dans S'.

Notons M l'ensemble des mots sur la réunion de S et de S', c'est-à-dire les chaînes finies de caractères constituées d'éléments de S et de S'. Deux telles chaînes seront dites équivalentes si on peut passer de l'une à l'autre en enlevant ou en rajoutant des chaînes de la forme ss' ou s's. Ceci définit une relation d'équivalence R sur M. On définit F_S comme l'ensemble des classes d'équivalence modulo R. On identifie chaque élément s de S avec sa classe dans F_S pour avoir l’inclusion $S \subset F_S$.

La concaténation de deux mots définit une loi sur M préservée par l'équivalence. Par passage au quotient, on obtient un loi de groupe sur F_S. L'élément neutre est la classe du mot vide, et l'inverse de la classe de $s_1s_2\dots s_n$ est la classe de $s_n'\dots s_2's_1'$.

Vérification de la propriété universelle : Si G est un groupe, toute application ensembliste $f : S \to G$ se prolonge en un morphisme de monoïdes $\phi : M \to G$ défini par$\phi(s_1s_2\dots s_n) = f(s_1)f(s_2)\dots f(s_n)$. Ce morphisme est constant sur les classes d'équivalence, et induit donc un morphisme de groupes $\psi : F_S \to G$ qui prolonge f.

Premières propriétés

• Si S et T ont même cardinal, alors F_S et F_T sont isomorphes. En effet, une bijection entre S et T donne lieu à des morphismes de F_S dans F_T et de F_T dans F_S, morphismes qui sont réciproques l'un de l'autre. Réciproquement, si F_S et F_T sont isomorphes, on peut montrer que S et T ont même cardinal. D’ailleurs, si S est infini, F_S a le même cardinal que S.
• Soit G un groupe, et soit S un système générateur de G. Alors G est un quotient du groupe libre F_S sur S. En particulier, n’importe quel groupe est le quotient d'un groupe libre, d’où la notion de présentation d'un groupe (par générateurs et relations).

Exemples

• Le groupe libre sur l'ensemble vide est le groupe trivial, et le groupe libre sur un singleton est isomorphe à $\Z$. Ce sont les deux seuls groupes libres commutatifs.

• Soit n un entier naturel. Le groupe fondamental du plan privé de n points est un groupe libre sur un ensemble de cardinal n.

Sous-groupes d'un groupe libre

• Les sous-groupes d'un groupe libre sont libres (Théorème de Nielsen-Schreier). La démonstration de ce résultat n'est pas immédiate^[1].
• Le groupe libre à 2 générateurs F_{a,b} contient la famille libre infinie $(a^n b a^{-n})_{n \in \Z}$, et le sous-groupe engendré par cette dernière n’admet aucun système fini de générateurs.

Ainsi, on n’a pas d’analogue non abélien du résultat suivant : tout sous-groupe d'un groupe abélien libre de type fini est un sous-groupe abélien libre de type fini.

Référence

• (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions], chapitre 7.

1. ↑ Voir le livre de Hall.

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