Groupe De Klein


Groupe De Klein

Groupe de Klein

En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non cyclique.

Sommaire

Définition

Il a quatre éléments, et tous sauf l'élément neutre ont un ordre égal à 2.

Propriétés

  • C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z, produit direct du groupe cyclique d'ordre 2 par lui-même.
Il est aussi isomorphe au groupe diédral D2={e,c,b,bc} d'ordre 4.
Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe).
Si on note V = { 0 , e , f , g } le groupe de Klein avec une loi additive « + » , alors cette loi présente la table d'opération suivante :
+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0
On constate que la loi du groupe de Klein est involutive :   ∀ xV , x + x = 0
  • Le groupe de Klein peut être muni d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, par l'ajout d'une seconde loi multiplicative, d'élément nul 0, d'élément neutre e, distributive par rapport à la loi additive et dont la table est :
x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f


  • On peut enfin considérer le groupe de Klein en termes de groupe d'automorphismes de graphe dont le graphe est :


  *   *
  |   |
  *   *
      |
      *

Application en ethnologie

Dans les structures élémentaires de la parenté l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein [1].

Notes

  1. Paul Jolissaint Notes de lecture : Groupes et ethnologie
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