Genre (mathématiques)


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Sommaire

Topologie

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Le genre d'une surface (i.e. un espace topologique dont tout point possède un voisinage homéomorphe au plan) connexe, est le nombre maximum de courbes fermées simples sans points communs pouvant être tracées à l'intérieur de cette surface sans la déconnecter. Autrement dit, dans le procédé de détermination du genre, le complément de la réunion de ces courbes reste connexe.

Plus concrètement, si l'on considère que la surface est en papier, le genre est le nombre maximal de découpages fermés faisables sans que la surface ne soit séparée en plusieurs morceaux.

C'est une notion de topologie : deux surfaces n'ayant pas le même genre ne sont pas homéomorphes.

Exemples

Courbes algébriques

Pour une courbe algébrique projective non singulière sur {}^\C, ses points forment une surface topologique compacte, on peut alors définir son genre comme étant le genre de cette surface topologique. Sur un corps de base quelconque, le genre est la dimension vectorielle de l'espace des formes différentielles sur la courbe. Les deux notions coïncident sur le corps des nombres complexes.

Exemples

  • Le genre d'une courbe non singulière du plan projectif  {\mathbb P}^2({\mathbb C}) définie par un polynôme homogène irréductible de degré n de  {\mathbb C}[X,Y,Z] est égal à (n − 1)(n − 2) / 2.
  • En particulier, une courbe elliptique, qui est une cubique plane non singulière, est de genre 1.

Pour une courbe projective intègre éventuellement singulière, on définit son genre géométrique comme étant le genre de la courbe désingularisée.

  • Pour une courbe singulière projective plane de degré n, admettant des points multiples P de multiplicité rP, et admettant en ces points rP tangentes distinctes, le genre géométrique se calcule comme suit[1],[2] :
g = \frac{(n-1)(n-2)}{2} - \sum_P \frac{r_P(r_P-1)}{2}

Par exemple, si une cubique non singulière est de genre 1, une cubique ayant un point double est de genre géométrique 0.

Si la courbe admet des points multiples ayant des tangentes multiples, la formule précédente donne seulement un majorant du genre géométrique.

Le genre d'une courbe permet de savoir s'il est possible ou non de lui attribuer un paramétrage rationnel. En effet, une courbe admet un tel paramétrage si et seulement si elle est de genre 0. De telles courbes sont dites unicursales.

Théorie des nœuds

Le genre d'un nœud est la moitié du nombre minimal d'anses qu'il est nécessaire d'ajouter à la sphère afin de pouvoir tracer une ligne de découpe à sa surface avec le nœud, afin que celle-ci se divise en deux lors de la découpe.

Exemples

Théorie des graphes

Le genre d'un graphe est le plus petit entier p pour que le graphe soit représentable sur une surface orientable de genre p.

Exemples

Références

  1. (en) William Fulton, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry [détail des éditions] , W.A.Benjamin (1969), p. 199
  2. Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions], EDP Sciences (1995), p. 183

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