Formule des probabilités totales

Énoncé

Formule des probabilités totales — On se donne un espace probabilisé $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}).$ Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'évènements, et si quel que soit $\scriptstyle\ i \in I,$ $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0,$ alors, pour tout évènement $\scriptstyle\ A,$

$\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i).$

Remarques  :

• Lorsque $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) = 0,\$ définir $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ pose problème : $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ serait la probabilité conditionnelle de $\scriptstyle\ A\$ sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir $\scriptstyle\ B_i.$ La définition usuelle de $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ conduirait alors à diviser par 0 ... Une convention qui est rarement nocive consiste, lorsque $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) = 0,\$ à attribuer à $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement $\scriptstyle\ A\$ sachant $\scriptstyle\ B_i,\$ puisque $\scriptstyle\ B_i\$ ne se produit jamais, donc attribuer à $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. Par ailleurs, dans la formule des probabilités totales, attribuer à $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par $\scriptstyle\ 0=\mathbb{P}(B_i).\$ En résumé, avec cette convention, l'hypothèse $\scriptstyle\ \mathbb{P}(B_i) \neq 0\$ est superflue pour la formule des probabilités totales.
• L'hypothèse selon laquelle $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ est un système exhaustif peut être affaiblie : $\scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i=\Omega\$ peut être remplacée par $\scriptstyle\ \cup_{\,i \in I}B_i\supset A.\$

Une variante

Théorème — On se donne un espace probabilisé $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ et un évènement A. Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B,

$\mathbb{P}(A|B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B).$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb{P}(A\cap B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i) \\ &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B)\mathbb{P}(B), \end{align}$

car $\scriptstyle\ B_i\cap B=B_i.\$ CQFD

Corollaire — Si $\scriptstyle\ (B_i)_{\,i \in I}\$ est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B, et si $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ ne dépend pas de i, alors la valeur commune des probabilités conditionnelles $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i)\$ est $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B).\$

Démonstration

Notons x la valeur commune des probabilités conditionnelles $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i).\$ Alors

$\begin{align} \mathbb{P}(A|B) &= \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x\ \sum_{i \in I} \mathbb{P}(B_i|B) \\ &= x. \end{align}$

CQFD

Ce corollaire permet de ramener le calcul de $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B)\$ au calcul des $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i),\$ parfois plus facile, car l'évènement B_i, étant plus petit que l'évènement B, fournit une information plus précise, et facilite ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle). Le cas se présente souvent lorsqu'on étudie 2 chaines de Markov dont l'une est image de l'autre. La démonstration de la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson est un exemple parmi beaucoup d'autres.

En particulier, le Corollaire est fréquemment utilisé dans le cas où B=Ω, et permet alors de ramener le calcul de $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A)\$ au calcul des $\scriptstyle\ \mathbb{P}(A | B_i).\$