Formule de Wald

Théorème

Soit $\scriptstyle\ (X_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires. Soit $\scriptstyle\ N\$ une variable aléatoire à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{N}.$ On pose

$S_n=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n},\quad S_N=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N}=\sum\ X_n\ 1\!\!1_{1\le n\le N}.$

Formule de Wald — On suppose que :

• $\scriptstyle\ (X_n)_{n\ge 1}$ est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes ,
• les $\scriptstyle\ X_i\$ et $\scriptstyle\ N\$ sont intégrables ,

et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :

• $\scriptstyle\ N\$ est un temps d'arrêt adapté à la suite $\scriptstyle\ (X_i)\$. En d'autres termes l'événement $\scriptstyle\ \left\{N=n\right\}\$ est entièrement déterminé par $\scriptstyle\ (X_{1},X_{2},...,X_{n}),$

ou bien :

• $\scriptstyle\ N\$ est indépendant de la suite $\scriptstyle\ (X_i)\$.

Alors on a :

$\mathbb{E}\left[S_N\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_1\right].$

Formulation générale

On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, ainsi que l'indépendance de la suite $\scriptstyle\ (X_i),\$ dans la formulation suivante :

Hypothèse — Il existe une filtration $\scriptstyle\ \mathcal{F}=(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$ telle que :

• $\scriptstyle\ N\$ est un temps d'arrêt adapté à la filtration $\scriptstyle\ \mathcal{F}\$ ;
• la suite $\scriptstyle\ (X_n)\$ est adaptée à la filtration $\scriptstyle\ \mathcal{F}\$ ;
• pour tout $\scriptstyle\ n\ge 0\$ la tribu $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n\$ et la variable $\scriptstyle\ X_{n+1}\$ sont indépendants.

Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n=\sigma(\{N=0\},X_{1},X_{2},...,X_{n}), \ \mathcal{F}_0=\sigma(\{N=0\}),$ et le second jeu d'hypothèses découle du choix $\scriptstyle\ \mathcal{F}_n=\sigma(N,X_{1},X_{2},...,X_{n}),\ \ \mathcal{F}_0=\sigma(N).\$

Encore plus généralement, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas particuliers de la formule d'arrêt pour les martingales.

Démonstration

La variable aléatoire

$Z=\sum\ |X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}$

est intégrable. En effet

$\{n\le N\}^{c}=\{n-1\ge N\}=\bigcup_{k=0}^{n-1}\{N=k\}\in\mathcal{F}_{n-1}.$

Ainsi, pour $\scriptstyle\ n\ge1,\$ en vertu de l'hypothèse d'indépendance entre la tribu $\scriptstyle\ \mathcal{F}_{n-1}\$ et la variable $\scriptstyle\ X_{n},\$

$\mathbb{E}\left[|X_n|\ 1\!\!1_{1\le n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_n|\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right]\,=\,\mathbb{E}\left[|X_1|\right]\,\mathbb{P}\left(n\le N\right).$

Or $\scriptstyle\ N\$ est intégrable si et seulement si la série de terme général $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(n\le N\right)\$ est convergente (et la somme de cette série est $\scriptstyle\ \mathbb{E}[N]\$). En vertu du théorème de Beppo-Levi, et de l'hypothèse d'intégrabilité faite sur N, la variable Z est intégrable, et on peut donc s'en servir comme majorant pour appliquer le théorème de convergence dominée ou le théorème de Fubini à $\scriptstyle\ S_N\$ :

$\begin{align} \mathbb{E}\left[S_{N}\right]&=\mathbb{E}\left[\sum_{n\ge1}\,X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\ 1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{E}\left[X_n\right]\,\mathbb{E}\left[1\!\!1_{n\le N}\right] \\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\sum_{n\ge1}\,\mathbb{P}\left(n\le N\right) \\&=\,\mathbb{E}\left[X_1\right]\,\mathbb{E}\left[N\right]. \end{align}$

A voir

Pages liées

• Temps d'arrêt
• Martingale
• Abraham Wald

Bibliographie

• Abraham Wald, « On Cumulative Sums of Random Variables », dans The Annals of Mathematical Statistics, vol. 15, n^o 3, septembre 1944, p. 283–296 [texte intégral, lien DOI] 
• (en) [ Williams], Probability With Martingales, Cambridge University Press, 14 février 1991, 272 p. (ISBN 978-0521406055)