Formule de Gauss-Bonnet

Formule de Gauss-Bonnet

En géométrie différentielle, la formule de Gauss-Bonnet est une propriété reliant la géométrie (au sens de la courbure de Gauss) et la topologie (au sens de la caractéristique d'Euler) des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d'une version du théorème, mais ne la publia jamais, et Pierre Ossian Bonnet, qui en publia un cas particulier en 1848.

Énoncé

Soit M une variété riemannienne à deux dimensions compacte (sans bord) ; alors l'intégrale de la courbure de Gauss permet de retrouver la caractéristique d'Euler de la surface

\int_M K\;dA=2\pi\chi(M)

Pour une variété compacte à bord, la formule devient

\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M)

en notant kg la courbure géodésique aux points du bord \partial M.

Si le bord \partial M est seulement régulier par morceaux, la formule reste vraie, en prenant au lieu de l'intégrale \int_{\partial M}k_g\;ds la somme des intégrales correspondantes sur les portions régulières du bord, plus la somme des angles formés aux points anguleux.

Interprétation et signification

D'après le théorème, la courbure de Gauss totale d'une surface fermée est égale à 2π fois la caractéristique d'Euler de la surface. Notons que pour une surface compacte orientable sans bord, la caractéristique d'Euler égale 2 − 2g, où g est le genre de la surface: une surface compacte orientable sans bord est topologiquement équivalente à une sphère avec des anses attachées, et g conte le nombre de anses.

Si on déforme la surface M, sa caractéristique d'Euler, qui est un invariant topologique, ne change pas, tandis que la courbure en certains points change. Le théorem établit, résultat un peu surprenant, que l'intégrale de toutes les courbures ne change pas quelle que soit la déformation. Par exemple si on a une sphère avec une "dent", alors sa courbure totale est 4π (la caractéristique d'Euler d'une sphère vaut 2), que l'on accroisse ou diminue la dent.

La compacité de la surface est essentielle. Si on considère par exemple le disque unité ouvert, une surface de Riemann non-compacte et sans bord, la courbure vaut 0 et la caractéristique d'Euler 1: la formule de Gauss–Bonnet ne fonctionne pas. Elle devient vraie cependant pour le disque unité fermé et compact, qui a une caractéristique d'Euler égale à 1, à cause de l'intégrale sur la frontière qui vaut 2π.

Autre application, le tore a une caractéristique d'Euler égale à 0, donc sa courbure totale doit être nulle. Si le tore est muni de la métrique Riemannienne ordinaire induite par son plongement dans R3, alors l'intérieur a une courbure de Gauss négative, l'extérieur a une courbure de Gauss positive, et la courbure totale est en effet égale à 0. Il est possible de construire un tore en identifiant les côtés opposés d'un carré; dans ce cas la métrique Riemannienne du tores est plate et a une courbure constante nulle, d'où il résulte une courbure totale nulle. Il n'est pas possible de définir une métrique Riemannienne sur le tore avec une courbure de Gauss en tout point positive ou négative.

Le théorème a des conséquences intéressantes pour les triangles. Soit M is une variété riemannienne de dimension 2 (non nécessairement compacte), et soit un "triangle" sur M formé par trois géodésiques. Alors nous pouvons appliquer le théorème de Gauss–Bonnet à la surface T formée par l'intérieur de ce triangle et la frontière de ce triangle. La courbure géodésique des géodesiques est nulle, et la caractéristique d'Euler de T est 1, le théorème indique que la somme des angles extérieurs du triangle géodésique est égal à 2π moins la courbure totale à l'intérieur du triangle. Puisque l'angle extérieur à un somment est égal à π moins l'angle intérieur, on peut reformuler le résultat comme suit:

La somme des angles intérieurs d'un triangle géodésique est égal à π plus la courbure totale à l'intérieur du triangle.

Dans le cas du plan (dont la courbure de Gauss est 0 et les géodésiques sont des lignes droites), on retrouve la formule familière pour la somme des angles d'un triangle ordinaire. Sur la sphère standard, dont la courbure est partout 1, on obtient que la somme des angles des triangles géodésiques est toujours plus grande que π.

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formule de Gauss-Bonnet de Wikipédia en français (auteurs)

См. также в других словарях:

  • Formule De Gauss-Bonnet — En géométrie, la formule de Gauss Bonnet est une propriété reliant la géométrie et la topologie des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d une version du théorème, mais ne la publia jamais, et… …   Wikipédia en Français

  • Formule de gauss-bonnet — En géométrie, la formule de Gauss Bonnet est une propriété reliant la géométrie et la topologie des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d une version du théorème, mais ne la publia jamais, et… …   Wikipédia en Français

  • Gauss (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Carl Friedrich Gauss (1777 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand. Le gauss, une unité de mesure du champ magnétique, noté G. GAUSS, un… …   Wikipédia en Français

  • GAUSS (C. F.) — L’œuvre du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (né à Brunswick, mort à Göttingen) est un monument d’une ampleur et d’une richesse sans égale: non seulement il y a Gauss mathématicien, mais il y a aussi le calculateur, le géodésien,… …   Encyclopédie Universelle

  • Théorème de Gaus-Bonnet — Formule de Gauss Bonnet En géométrie, la formule de Gauss Bonnet est une propriété reliant la géométrie et la topologie des surfaces. Elle porte le nom des mathématiciens Carl Friedrich Gauss, qui avait conscience d une version du théorème, mais… …   Wikipédia en Français

  • Courbure de Gauss — La courbure de Gauss d une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l endomorphisme de Weingarten. Le tableau suivant liste les courbures de Gauss de …   Wikipédia en Français

  • Équations de Gauss-Codazzi — En géométrie riemannienne, les équations de Gauss Codazzi Mainardi sont des équations fondamentales dans le cadre de la théorie des hypersurfaces plongées dans un espace euclidien, et plus généralement des sous variétés d une variété riemannienne …   Wikipédia en Français

  • Méthodes de quadrature de Gauss — Dans le domaine mathématique de l analyse numérique, les méthodes de quadrature sont des approximations de la valeur numérique d une intégrale. En général, on remplace le calcul de l intégrale par une somme pondérée prise en un certain nombre de… …   Wikipédia en Français

  • Pierre-ossian bonnet — Pour les articles homonymes, voir Bonnet. Pierre Ossian Bonnet Pierre Ossian Bonnet, né à Montpellier le …   Wikipédia en Français

  • Pierre Ossian Bonnet — Pour les articles homonymes, voir Bonnet. Pierre Ossian Bonnet Pierre Ossian Bonnet, né à Montpellier le …   Wikipédia en Français


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»