Formulation faible

En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles.

Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible.

L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev.

La formulation faible prend son sens dans le Théorème de Lax-Milgram. Elle est un des fondements de la méthode des éléments finis.

Formellement

Etant donné un opérateur différentiel $\displaystyle R(.)$ et une fonction $\displaystyle f$ définie sur un domaine ouvert Ω, la formulation forte du problème est la suivante :

Trouver $\displaystyle u$ définie sur Ω vérifiant $\displaystyle R(u)=f$ en tout point de Ω.

Une solution $\displaystyle u$ est naturellement solution du problème suivant (formulation faible) :

Trouver $\displaystyle u$ définie sur Ω vérifiant $\int_\Omega R(u)\ v = \int_\Omega f\ v$ pour toute fonction $\displaystyle v$ définie sur Ω.

Selon la nature du problème, des transformations équivalentes de cette dernière égalité (par exemple une intégration par parties) permet de faire apparaître une forme symétrique ayant la nature d’un produit scalaire (ou d’un produit hermitien dans le cas de fonctions complexes). Les deux fonctions $\displaystyle u$ et $\displaystyle v$ appartiennent alors à un même espace fonctionnel. Dans ce cas, la formulation faible stipule que la solution $\displaystyle u$ est une sorte de projection de $\displaystyle f$ dans cet espace. C’est à ce stade du développement qu’intervient le Théorème de Lax-Milgram.

D’autres contraintes sur la frontière de Ω (conditions aux limites) peuvent être imposées à $\displaystyle u$ (et à $\displaystyle v$).

Exemple

Dans le cadre d’un problème concret, le passage d’une formulation forte à faible est présenté ici.

Voir aussi

• Théorème de Lax-Milgram
• Méthode des éléments finis
• Équation aux dérivées partielles
• Formulation variationnelle