Fonction de Pearson VII

Fonction de Pearson VII

Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

Sommaire

Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

 f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )^2 \right ]^{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tan^{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]

  • m, ν, a et λ sont des réels ;
  • m > 1/2 ;
  • k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}

elle présente deux points d'inflexion situés en

x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4m^2 + \nu^2}{2m+1}}.

Sa moyenne vaut

\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r} pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

\mu_2 = \frac{a^2}{r^2(r-1)}(r^2 + \nu^2) pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

k = \frac{2^{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |^2}{\pi a \Gamma (r)}

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2^{1/M}-1}}{w} \right )^2 \right ]^M}

M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

f = \left [ 1 + K^2 \frac{(x-x_0)^2}{M} \right ]^{-M}

On a

  • M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
  • M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
  • M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussi

Bibliographie

  • Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.—II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.

Liens externes

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
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