Fonction contractante

Application contractante

En mathématiques, une application contractante est une application k-lipschitzienne avec $0\leq k <1$. Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé.

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soit E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x ^* de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x ^* ) = x ^* . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence x_{n + 1} = f(x_n) converge vers x ^* .

Démonstration

Soit (E,d) un espace métrique non vide et soit $f:E \rightarrow E$ une application contractante de rapport k, avec $0\leq k <1$.

Existence

Soit $x_0\in E$ et soit $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ la suite définie par son premier terme (x₀) et la récurrence x_{n + 1} = f(x_n) pour tout $n \in \mathbb{N}$. Il s'agit d'une suite de Cauchy de E. En effet,

$\forall m \in \mathbb N^*,\ d(x_{m+1},x_m)=d(f(x_m),f(x_{m-1}))\le k d(x_m,x_{m-1});$

et par récurrence

$d(x_{m+1},x_m) \le k^m d(x_1,x_0).$

On en déduit par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

$\begin{array}{ll} \forall n \in \mathbb N,\ \forall p \in \mathbb N^*,\ d(x_{n+p},x_n) & \le d(x_{n+1},x_n)+d(x_{n+2},x_{n+1})+\ldots+d(x_{n+p},x_{n+p-1})\\ & \le (k^n+k^{n+1}+\ldots+k^{n+p-1}) d(x_1,x_0)\\& \le \displaystyle k^n\frac {1-k^p}{1-k} d(x_1,x_0) \quad (*).\end{array}$

Ce dernier membre tend vers zéro quand n tend vers l'infini, donc on a bien une suite de Cauchy.

Comme E est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite x ^* . De plus de x_{n + 1} = f(x_n), on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de f (car c'est une application lipschitzienne) que f(x ^* ) = x ^* , ce qui montre l'existence.

Unicité

Soit x ^* et x ^{* *} deux points fixes de f. On a alors

$0\leq d(x^*,x^{**}) = d(f(x^*),f(x^{**}))\leq k d(x^*,x^{**}).$

Et puisque $0\leq k <1$, on a alors $0\leq (1-k)d(x^*,x^{**}) \leq 0$, d'où d(x ^* ,x ^{* *} ) = 0, puis x ^* = x ^{* *} , ce qui montre l'unicité.

Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour p dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x ^* ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

$d(x^*,x_n) \leq \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$

Applications classiques

• Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
• Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
• Résolution d'équation différentielle : théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème des fonctions implicites

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