Fonction Périodique

Fonction Périodique

Fonction périodique

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Période.

En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période. Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une horloge, les phases de la lune, etc.

Sommaire

Définition

La fonction sinus est périodique de période égale à .

Une fonction f définie sur un ensemble \mathcal D \subset \R de nombres réels est dite périodique de période t \in \R^* (ou t-périodique) si et seulement si:

\forall x\in\mathcal D,\ x+t\in \mathcal D\quad\mathrm{et}\quad \forall x\in\mathcal D,\  f(x+t)=f(x)\

Pour une fonction périodique, le graphe peut être tracé en recopiant de façon répétitive, une portion particulière de longueur une période, à intervalles réguliers : c'est une propriété d'invariance par translation.

Par exemple, la fonction partie fractionnaire f qui associe à un nombre réel sa partie fractionnaire définie par

\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=x-[x]

Ici, [x] désigne la partie entière de x. La fonction f est périodique et de période 1. Ainsi nous avons

f( 0,5 ) = f( 1,5 ) = f( 2,5 ) = \ldots = 0,5.

Si une fonction f est périodique de période t alors pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de f et pour tout entier n:

f(x + nt) = f(x)

Ce résultat se démontre par récurrence.

Dans l'exemple précédent, la fonction étant de période 1, nous avons pour tout réel x

f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) \ldots

Si on considère l'ensemble des périodes strictement positives d'une fonction f et si f est continue et que cet ensemble n'admet pas de plus petit élément alors f est constante, sinon f admet une plus petite période strictement positive. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques et de période .

La théorie des séries de Fourier cherche à écrire une fonction périodique arbitraire comme une somme de fonctions trigonométriques.

En physique, un mouvement périodique est un mouvement dans lequel la position, (ou les positions) d'un système sont exprimables à l'aide de fonctions périodiques du temps, ayant toute la même période. Voyez par exemple les articles onde en dent de scie, et onde triangulaire

Moyenne, dérivée et primitive des fonctions périodiques numériques

Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction périodique f intégrable de période T est la valeur suivante, qui est indépendante de a :

\mu = \frac{1}{T} {\int_0^T f(x)\mathrm{d}x}=\frac{1}{T} \int_a^{a+T} f(x)\mathrm{d}x

Ainsi la fonction cosinus est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.

Quitte à ajouter une constante à la fonction, on peut changer sa valeur moyenne.

Dérivée et primitive

  • La dérivée d'une fonction \mathcal C^1, T-périodique, est T-périodique et de moyenne nulle
  • Une fonction f continue et T-périodique admet une primitive T-périodique si et seulement si f est de moyenne nulle (toutes les primitives sont alors périodiques, une seule étant de moyenne nulle).

Pour une étude plus précise des propriétés de la dérivation pour les fonctions périodiques, il faut introduire les séries de Fourier ; on peut alors démontrer l'inégalité de Wirtinger qui compare les normes de f et de sa dérivée.

Définition plus générale et ensemble de périodes [réf. souhaitée]

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée additivement + et F un ensemble quelconque. Un élément T \in E étant donné, une fonction T-périodique ou fonction de période T de E dans F, est une fonction de E dans F telle que:

\forall x\in E,\ f(x+T)=f(x).

Remarquons qu'à moins que la loi soit supposée commutative cette définition dépend de la place de T à droite.

Plus fréquemment, E est un groupe commutatif dont l'ensemble des périodes possibles forme un sous-groupe.


Une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble des nombres complexes peut avoir deux périodes incommensurables sans être constante. Les fonctions elliptiques vérifient cette propriété (incommensurable veut dire dans ce contexte qu'elles ne sont pas multiples par un réel l'une pour l'autre.)

Voir également

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction p%C3%A9riodique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction Périodique de Wikipédia en français (auteurs)

См. также в других словарях:

  • Fonction periodique — Fonction périodique Pour les articles homonymes, voir Période. En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité… …   Wikipédia en Français

  • Fonction périodique — Pour les articles homonymes, voir Période. En mathématiques, une fonction périodique est une fonction qui lorsqu elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période.… …   Wikipédia en Français

  • fonction périodique — periodinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. periodic function vok. periodische Funktion, f rus. периодическая функция, f pranc. fonction périodique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Fonction Presque Périodique — En mathématiques, une fonction presque périodique (au sens de Harald Bohr) est une application dont les propriétés ressemblent à celles d une fonction périodique. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 3 Les grands théorèmes …   Wikipédia en Français

  • Fonction presque periodique — Fonction presque périodique En mathématiques, une fonction presque périodique (au sens de Harald Bohr) est une application dont les propriétés ressemblent à celles d une fonction périodique. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 3 Les grands… …   Wikipédia en Français

  • périodique — [ perjɔdik ] adj. • 1398 méd.; lat. periodicus, du gr. 1 ♦ (1749) Qui se reproduit à des époques déterminées, à des intervalles réguliers. Phases périodiques de prospérité et de marasme. ⇒ alternatif, cyclique. « Les fêtes et les cérémonies… …   Encyclopédie Universelle

  • fonction — [ fɔ̃ksjɔ̃ ] n. f. • 1537; lat. functio « accomplissement », du v. fungi « s acquitter de » I ♦ Action, rôle caractéristique (d un élément, d un organe) dans un ensemble. A ♦ (Personnes) 1 ♦ Exercice d un emploi, d une charge; par ext. Ce que… …   Encyclopédie Universelle

  • Fonction Entière — La fonction associant à chaque nombre réel sa partie entière est traitée à l article Partie entière. Voir aussi la page Entier (homonymie). En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le plan complexe. C …   Wikipédia en Français

  • Fonction entiere — Fonction entière La fonction associant à chaque nombre réel sa partie entière est traitée à l article Partie entière. Voir aussi la page Entier (homonymie). En analyse complexe, une fonction entière est une fonction holomorphe définie sur tout le …   Wikipédia en Français

  • Fonction presque périodique — En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction presque périodique est une application dont les propriétés ressemblent à celles d une fonction périodique. Sommaire 1 Motivation intuitive et définition de Bohr 2 Exemples et… …   Wikipédia en Français


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»