Fonction L de Dirichlet

Fonction L de Dirichlet

Série L de Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

En mathématiques, une série L de Dirichlet, est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres.

Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Elle est construite à partir d'un caractère de Dirichlet et, dans le cas où le caractère est trivial, la fonction L de Dirichlet s'identifie avec la fonction zêta de Riemann.

Ces propriétés lui permettent de démontrer le théorème sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques.

Elle nommée ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

Sommaire

Définitions

Soit χ un caractère de Dirichlet modulo qq est un entier strictement positif et s un nombre complexe de partie réelle supérieure à 1.

  • La série L de Dirichlet pour le caractère χ au point s , notée L(s, χ), est donnée par la formule suivante :
L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
  • La série L de Dirichlet d'un caractère se prolonge analytiquement sur C. Ce prolongement est appelé Fonction L de Dirichlet et est encore noté L(s, χ).


Comportement au point un

Le comportement des série au point un est la clé du théorème de la progression arithmétique. C'est la raison pour laquelle Dirichlet défini ces séries. Ici, N désigne le conducteur des caractères étudiés et χ0 le caractère principal.

  • Le point un est un pôle du caractère principal.
  • Tout caractère non principal est définie et analytique sur le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive.

Ce qui signifie qu'elle n'admet pas de pôle sur cette région.

  • Le point un n'est racine d'aucune série L de Dirichlet construit à l'aide d'un des caractères.


Zéros des fonctions L de Dirichlet

Si \chi\, est un caractère primitif avec \chi(-1) = 1\,, alors les seuls zéros de L(s, \chi)\, avec Re(s)<0 sont les entiers pairs négatifs. Si \chi\, est un caractère primitif avec \chi(-1) = -1\,, alors les seuls zéros de L(s, \chi)\, avec Re(s)<0 sont les entiers impairs négatifs.

Jusqu'à l'existence possible d'un zéro de Siegel, les régions sans zéro incluant et au-delà de la droite Re(s)=1 similaires à la fonction zêta de Riemann sont d'existence connue pour toutes les fonctions L de Dirichlet.

De la même façon que la fonction de zêta de Riemann est conjecturée comme obéissant à l'hypothèse de Riemann, les fonctions L de Dirichlet sont conjecturées comme obéissant à l'hypothèse de Riemann généralisée.

Équation fonctionnelle

Supposons que \chi\, est un caractère primitif de module k. Définissant

\varepsilon(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),

\Gamma\, désigne la fonction gamma et le symbole a est donné par

a=\begin{cases}0;&\mbox{si }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{si }\chi(-1)=-1,\end{cases}

on a l'équation fonctionnelle

\varepsilon(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\varepsilon(s,\chi).

Ici, nous avons écrit \tau(\chi)\, pour la somme de Gauss

\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k)\,.

Note : |\tau(\chi)| = k^{\frac{1}{2}}\,.

Relation avec la fonction zêta d'Hurwitz

Les fonctions L de Dirichlet peuvent être écrites comme une combinaison linéaire de fonctions zêta d'Hurwitz à valeurs rationnelles. En fixant un entier k \ge 1\,, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo k sont des combinaisons linéaires, avec des coefficients constants, de \zeta(s,q)\,q = m/k et m = 1, 2, ..., k. Ceci signifie que la fonction zêta d'Hurwitz pour un rationnel q possède des propriétés analytiques qui sont intimement liées aux fonctions L de Dirichlet. Précisément, soit \chi\, un caractère modulo k. Alors, nous pouvons écrire sa fonction L de Dirichlet sous la forme

L(\chi, s) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}
= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère modulo 1 nous donne la fonction zêta de Riemann :

\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).

Liens externes et références

Liens externes

Références

  • Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane La fonction Zêta, Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 ISBN 2730210113
  • Harold Davenport's Multiplicative number theory, 3ème edt Springer 2000 ISBN 0387950974
  • Karatsuba Basic analytic number theory, Springer-Verlag 1993 ISBN 0-387-53345-1
  • S. J. Patterson An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function Cambridge University Press 1995 ISBN 0521499054.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « S%C3%A9rie L de Dirichlet ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction L de Dirichlet de Wikipédia en français (auteurs)

См. также в других словарях:

  • Fonction Beta De Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction beta de Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction beta de dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction β de Dirichlet — Fonction bêta de Dirichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas particulier de fonction L de… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Eta De Dirichlet — Fonction êta de Dirichlet Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où …   Wikipédia en Français

  • Fonction eta de Dirichlet — Fonction êta de Dirichlet Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où …   Wikipédia en Français

  • Fonction eta de dirichlet — Fonction êta de Dirichlet Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où …   Wikipédia en Français

  • Fonction bêta de Dirichlet —  Ne pas confondre avec la fonction bêta à deux variables. En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C est un cas… …   Wikipédia en Français

  • Fonction êta de Dirichlet — Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où est la foncti …   Wikipédia en Français

  • Fonction Zeta de Riemann — Fonction zêta de Riemann En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des… …   Wikipédia en Français


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»