Fonction Homogène

Fonction homogène

En mathématique, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’echelle multiplicatif par rapport à son ou ses argument : si l’argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Définition

Soit

$f: V \rarr W \qquad\qquad$

une fonction entre deux espaces vectoriels sur un même corps $F \qquad\qquad$.

Alors $f \qquad\qquad$ est homogène de degré $k \qquad\qquad$ si

$f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})$ est vrai pour tout $\alpha \isin F \qquad\qquad$ et $\mathbf{v} \isin V \qquad\qquad$.

Exemple dans $\mathbb{R}^2$

Par exemple, pour une fonction f de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, homogène de degré 4, on aura :

$f: \mathbb{R}^2 \rarr \mathbb{R} \qquad\qquad$

$f(\alpha x_1,\alpha x_2) = \alpha^4 \times f(x_1,x_2)$

Propriété

Toute fonction homogène vérifie le théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables).

Notes et références de l'article

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction mathématique
• Fonction de Cobb-Douglas

Liens et documents externes

• Cours sur les fonctions homogènes

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