Fonction De Möbius


Fonction De Möbius

Fonction de Möbius

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August Ferdinand Möbius est le premier à étudier systématiquement la fonction qui porte maintenant son nom en 1832.

En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers positifs et à valeurs dans l'ensemble {-1, 0, 1}.

Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes. En arithmétique, elle est parfois définie comme l'inverse de la fonction multiplicative constante 1, pour l'opération convolution de Dirichlet. On la trouve encore pour l'étude des polynômes cyclotomiques sur le corps des nombres rationnels. Son rôle est analogue pour les corps finis et, par voie de conséquence la fonction de Möbius intervient dans la théorie des codes correcteurs. En théorie analytique des nombres, la fonction de Möbius est plus souvent introduite à l'aide des séries de Dirichlet. Elle intervient dans certaines démonstrations liées à l'étude de l'hypothèse de Riemann sur les nombres premiers.

L'usage de cette fonction est ancien en mathématiques, on le trouve chez Leonhard Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans son livre Disquisitiones arithmeticae en 1801. C'est néanmoins Möbius qui le premier l'étudie systématiquement en 1832.

Sommaire

Définition et propriétés

Définition

Dans toute la suite de l'article N désigne l'ensemble des entiers positifs et N* celui des entiers strictement positifs. La définition la plus courante est la suivante :

Définition de la fonction de Möbius — La fonction de Möbius est définie de N* dans {-1, 0, 1}. Si n est un nombre entier, son image par la fonction est généralement noté μ(n), elle est nulle si n est divisible par un carré parfait différent de 1, vaut 1 si n est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts et -1 sinon[1] [2].

Un rapide calcul montre que les premières valeurs de la fonction de Möbius sont :

 n   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20 
 μ(n)   1   -1   -1   0   -1   1   -1   0   0   1   -1   0   -1   1   1   0   -1   0   -1   0 

Le calcul des cinquante premières valeurs donne le graphe :

Graphe des cinquante premières valeurs de la fonction de Möbius

Fonction multiplicative

La fonction de Möbius est multiplicative, ce qui signifie que :

Fonction multiplicative — L'image par μ de 1 est égale à 1, et si n et m deux entiers strictement positifs premiers entre eux, on dispose de l'égalité[3] :

\mu(n\cdot m) = \mu (n)\cdot \mu (m)

En effet, si l'un des deux entiers n et m est divisible par un carré parfait différent de 1, la formule est vérifiée et donne 0. Sinon, soit s le nombre de diviseurs premiers de n et t celui de m. L'entier n.m admet s + t diviseurs premiers. L'égalité suivante démontre le théorème :

\mu(n\cdot m)=(-1)^{s+t}=(-1)^s(-1)^t = \mu (n)\cdot \mu (m)

Formule d'inversion de Möbius

Le fait que la fonction de Möbius soit multiplicative est lourd de conséquences. Elle est un élément clé du résultat suivant :

Théorème 1 — La somme des valeurs de la fonction de Möbius sur tous les diviseurs positifs de n est nulle, si n est un entier strictement supérieur à 1. Plus précisément[4] :

\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ si } n=1\\ 0&\mbox{ si } n>1\end{matrix}\right.

Ce résultat est parfois vu comme une étape intermédiaire de la formule suivante :

Formule d'inversion de Möbius[4] — Soient f une fonction arithmétique et g la fonction définie par :

\forall n\in \mathbb{N}^* \quad g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)

La fonction g vérifie l'égalité :

\forall n\in \mathbb{N}^* \quad f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(n/d)g(d)

La fonction f peut être vue comme une suite, à valeurs dans les entiers ou plus généralement dans les nombres complexes. Le résultat est encore vrai si f est à valeurs dans un groupe additif quelconque.

Combinatoire

Définitions et propriétés élémentaires

Une première approche, pour démontrer les formules du paragraphe précédent consiste à utiliser un raisonnement combinatoire[5]. La technique consiste à étudier un ensemble A fini et ordonné[Note 1] par une relation d'ordre notée ≤. On utilise la définition suivante :

Définition d'une chaîne[6] — Soient p un nombre entier et (ab) un couple d'éléments de A tel que a ≤ b. On appelle chaîne de longueur p, joignant a à b, toute suite finie (x0x1, ..., xp) telle que :

a=x_0< x_1 < \cdots x_{p-1}< x_p=b

Dans la suite du paragraphe, on note cp(ab) le nombre de chaînes de longueur p reliant a à b. On dispose immédiatement de quelques propriétés. Par exemple, si a est un élément de A, c0(aa) = 1, cp(aa) = 0 si p est différent de 0, si b est un élément de A strictement plus grand que a alors c0(ab) = 0 et c1(ab) = 1. Un peu de réflexion permet d'établir par récurrence la proposition suivante :

Proposition 1[6] — Si a et b sont deux éléments de A tels que b est strictement plus grand que a et p un nombre entier positif :

c_{p+1}(a,b) = \sum_{a\le c<b} c_p(a,c) = \sum_{a< c\le b} c_p(c,b)

Par analogie avec la définition précédente, le mathématicien G. C. Rota définit une nouvelle fonction de Möbius, qu'il note μA :

Définition de G. C. Rota de la fonction de Möbius μA — La fonction de Möbius μA est définie de AxA à valeurs dans les entiers par l'égalité :

\forall a,b \in A \quad a\le b \Rightarrow \mu_A(a,b) = \sum_{p \in \N} (-1)^pc_p(a,b) \quad\text{et}\quad  a > b \Rightarrow \mu_A(a,b) = 0

Autrement dit, on compte positivement toutes les chaînes de longueurs paires reliant a à b et négativement celles de longueurs impaires. On remarque de plus que ces définitions restent valables si A est infini, à condition qu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments situés entre a et b. La proposition 1 permet de démontrer la :

Proposition 2[7] — Soient a et b deux éléments de A tel que a soit strictement plus petit que b :

\mu_A(a,a)=0 \quad\text{et}\quad \sum_{a\le c\le b} \mu_A(a,c) = \sum_{a\le c\le b} \mu_A(c,b)=0

Formule d'inversion de Rota

L'un des intérêts de la fonction de Möbius est la formule d'inversion associée. Les résultats du paragraphe précédent permettent de l'établir. Soient G un groupe additif, c'est à dire un groupe abélien dont l'opération est notée additivement et f une fonction de A dans G. On peut considérer par exemple de G est égal à Z, le groupe des nombres entiers. Soit g la fonction définie par :

\forall b \in A \quad g(b) = \sum_{a \le b} f(a)

On se trouve alors dans une configuration analogue à celle de la formule d'inversion de Möbius.

Formule d'inversion de Rota[8] — L'égalité suivante est vérifiée :

\forall b \in A \quad f(b) = \sum_{a \le b} \mu_A(a,b)g(a)

Cette formule reste vraie si A n'est pas de cardinal fini, mais s'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments de A plus petits qu'un élément b donné.

Relation entre la définition de Möbius et celle de Rota

Ici, l'ensemble A désigne celui des entiers strictement positifs munis de la relation d'ordre : a ≤ b lorsque a est un diviseur de b. On dispose de la propriété :

Relation entre les définitions des fonctions de Möbius[9] — Soit a et b deux entiers tels que a divise b. Si la fonction μ désigne celle de Möbius, on dispose des égalités :

\mu_A(a,b) = \mu_A\left(1,\frac ba\right) = \mu\left(\frac ba\right)

La définition de la fonction de Möbius donnée initialement apparaît comme un cas particulier de celle de Rota. En conséquence, la démonstration de la relation du paragraphe implique celle de la formule d'inversion de Möbius.

Convolution de Dirichlet

Contexte

Il existe une manière moins combinatoire et plus arithmétique d'étudier la fonction de Möbius. Le contexte est un peu plus abstrait, la structure de base est celle des fonctions multiplicatives munies d'une opération binaire : la convolution de Dirichlet. Soit M l'ensemble des fonctions multiplicatives, c'est à dire des fonctions définies sur N* à valeurs dans les nombres complexes[Note 2] qui valent 1 en 1 et telles que si a et b sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux, f(a.b) = f(a).f(b).

La convolution de Dirichlet, notée dans cet article *, associe à deux éléments de M, f et g la fonction f * g définie par :

\forall n \in \N^* \quad (f \star g) (n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d)

La convolution de Dirichlet possède suffisamment de bonnes propriétés pour rendre le concept fructueux. Tout d'abord, elle définit une loi interne sur M, c'est à dire que la convolution de deux fonctions multiplicatives est encore une fonction multiplicative. Ensuite, la loi est commutative et associative. Enfin, il existe un élément neutre, notée ici 1M, c'est la fonction qui à 1 associe 1 et à tout autre élément associe 0, et tout élément de M possède un symétrique. Autrement dit, la structure (M, *) est celle d'un groupe abélien.

Étudier la fonction de Möbius sous cet angle apporte un éclairage différent sur les propriétés de la fonction. D'un coté, on perd en généralité par rapport à l'approche de Rota. L'approche par la convolution de Dirichlet ne s'applique qu'aux entiers strictement positifs munis de l'ordre induit par la division, restriction que n'a pas celle de Rota. Ensuite, le cadre conceptuel est plus abstrait, on utilise ici une structure abstraite, celle d'un groupe abélien particulier. En revanche, les définitions sont plus naturelles avec la convolution de Dirichlet. Des propriétés qui apparaissent comme un peu magiques avec l'approche combinatoire deviennent plus intuitives. Enfin, certains résultats plus algébriques ou arithmétiques se démontrent plus aisément avec les propriétés de la convolution.

Définition alternative

Sous l'angle du paragraphe, il existe une définition plus naturelle de la fonction de Möbius. Pour l'exprimer, une notation est utile. La fonction c1 désigne la fonction constante 1, c'est à dire la fonction qui à tout élément de N*, associe 1.

Définition alternative de la fonction de Möbius[10] — La fonction de Möbius est l'inverse de la fonction c1 dans le groupe (MK, *).

Le théorème 1 devient maintenant l'élément clé de la définition. La fonction de Möbius est définie comme l'unique fonction multiplicative qui vérifie l'égalité c1 * μ = 1M, ou encore :

\forall n \in \N^*\quad \sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ si } n=1\\ 0&\mbox{ si } n>1\end{matrix}\right.

La définition précédente devient maintenant une proposition :

Proposition 3[10] — Les deux définitions de la fonction de Möbius coïncident.

Sous cet angle, la définition de la fonction de Möbius est plus naturelle, c'est l'inverse de la fonction constante 1. La formule d'inversion se démontre immédiatement. Soit f une fonction multiplicative quelconque. La fonction g associée est définie par g = c1 * f. En appliquant aux deux membres une convolution par μ, l'égalité devient f = μ * g, cette égalité est la formule d'inversion de Möbius. Avec la convolution de Dirichlet, les démonstrations sont singulièrement plus courtes.

Série de Dirichlet

Usages

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Indicatrice d'Euler.

La convolution de Dirichlet permet de démontrer aisément quelques formules d'arithmétiques. Soit φ la fonction qui à un entier strictement positif n associe le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n. Cette fonction est aussi celle qui à n associe le nombre d'élément générateurs du groupe cyclique d'ordre n[Note 3]. Elle est appelée indicatrice d'Euler.

Tout élément d'un groupe cyclique est générateur d'un sous-groupe cyclique. Dans un groupe cyclique d'ordre n, il existe exactement autant de sous-groupes que de diviseurs de n et l'ordre de chacun des sous-groupes peut être choisi égal à ce diviseur[Note 4]. Si les éléments du groupe sont partitionnés par la relation d'équivalence : g est en relation avec h lorsque g et h engendrent le même sous-groupe, on obtient l'égalité sur l'ordre n du groupe cyclique :

\forall n \in \N^*\quad n = \sum_{d|n} \varphi (d) \quad\text{ou encore}\quad \text{Id} = c_1\star \varphi

Ici, Id désigne la fonction arithmétique identité, qui à n associe n. La fonction de Möbius permet de déterminer une expression de l'image d'un entier strictement positif n par l'indicatrice d'Euler. Une convolution par μ, appliquée à l'égalité Id = c1 * φ donne : φ = μ * Id, égalité qui s'écrit :

\forall n \in \N^*\quad \varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(n/d)d \quad\text{ou encore}\quad \varphi = \mu \star \text{Id}

A ce stade, rien n'indique encore que φ est une fonction multiplicative. Cependant, la loi * s'applique à toute fonction arithmétique, c'est à dire à toute fonction de N* dans un groupe abélien, ici Z. Sur cet ensemble, la loi * est associative, ce qui autorise le calcul précédent. Soit p un nombre premier et s un entier strictement positif; La formule précédente montre que :

\varphi(p^s) = \sum_{d|p^s} \mu(p^s/d)d = \sum_{t=0}^s \mu(p^{s-t})p^t = p^s - p^{s-1} = p^s\left(1 -\frac 1p\right)

La fonction φ est égal à la convolution de Id et de la fonction de Möbius, deux fonctions multiplicatives, c'est donc une fonction multiplicative. Cette remarque permet de terminer le calcul. Soit n un entier strictement plus grand que 1, pi, pour i variant de 1 à m les nombres premiers qui divisent n et si l'exposant de pi dans la décomposition en facteurs premiers de n[11].

\varphi(n)=\varphi\left(\prod_{i=1}^m p_i^{s_i}\right) = \prod_{i=1}^m \varphi\left(p_i^{s_i}\right)=\prod_{i=1}^m p_i^{s_i}\left(1 -\frac 1{p_i}\right)= n \prod_{i=1}^m\left(1 -\frac 1{p_i}\right)

Polynôme cyclotomique

Article détaillé : Polynôme cyclotomique.

La formule d'inversion de Möbius est valable pour toute fonction f de N* dans un groupe abélien. Si la notation est multiplicative, la formule devient :

\text{Si}\quad \forall n \in \N^*\quad g(n) = \prod_{d|n} f(d)\quad\text{alors}\quad \forall n \in \N^*\quad f(n)=\prod_{d|n}g(d)^{\mu(n/d)}

Soit K un corps premier, celui des rationnels ou Fp le corps contenant p éléments. Ici n désigne un entier strictement positif et Φn(X) le polynôme cyclotomique d'indice n à coefficient dans K. Si K est égal à Fp, n est choisi premier avec p. On dispose de l'égalité[Note 5] :

X^n-1 = \prod_{d|n}\Phi_d(X)\;

Si la fonction f est à valeurs dans le groupe multiplicatif des fractions rationnelles non nulles à coefficients dans K et si elle associe à d le polynôme cyclotomique Φd(X), l'égalité précédente montre que la fonction g est celle qui associe à d la fraction Xd - 1. La formule d'inversion de Möbius donne un moyen de calculer le polynôme cyclotomique d'indice n[12].

\Phi_n(X) = \prod_{d|n}(X^d - 1)^{\mu(n/d)}\;

Polynôme irréductible et corps fini

Article détaillé : corps fini.

La fonction de Möbius joue un rôle dans des problèmes de dénombrements. Certains codes correcteurs, comme les codes cycliques[13] sont construits à l'aide de l'anneau des polynômes formels à coefficients dans un corps fini Fn et d'un polynôme irréductible et unitaire de degré k, où k est premier avec n. Pour cette raison, il est utile de connaître le nombre Nk de polynômes irréductibles unitaires de degré k à coefficients dans Fn. Ici, Fn désigne le corps à n éléments. Cette question est un exemple de problème de dénombrement fait intervenir la fonction de Möbius.

Soit P(X) l'un des polynômes recherchés. Ce polynôme n'admet que des racines distinctes, toutes sont éléments du corps à nk éléments[Note 6]. Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique, autrement dit, le polynôme Xnk-1 - 1 admet pour racines tous les éléments non nuls du corps à nk éléments. Le polynôme Xnk - X admet pour racines exactement tous les éléments du corps. Ce qui revient à dire que ce polynôme est divisible par tous les polynômes irréductibles de degré k. On considère sa décomposition en polynômes irréductibles unitaires à coefficients dans Fn :

(1)\quad X^{n^k} - X = \prod Q(X)

Montrons que le degré d d'un facteur Q(X) de droite divise k. Soit K le corps de rupture de Q(X), son cardinal est égal à nd. Le corps à nk éléments peut être considéré comme un espace vectoriel sur K, son cardinal est donc de la forme nd.a, où a est un entier strictement positif. Comme ce cardinal est aussi égal à nk, on en déduit que d.a = k.

L'égalité (1) est formée, à droite d'exactement Nd facteurs irréductibles unitaires de degré d. L'égalité sur les degrés se traduit par :

(2)\quad n^k = \sum_{d|k} dN_d

Soit f la fonction arithmétique qui à d associe d.Nd et g celle qui à d associe nd. La formule d'inversion de Möbius s'écrit :

f(k) = \sum_{d|k} \mu(d)g(k/d) \quad\text{et}\quad kN_k = \sum_{d|k}\mu(d)n^{k/d}

On en déduit la formule suivante[14]:

N_k = \frac 1k\sum_{d|k}\mu(d)n^{k/d}

Annexes

Notes

  1. La relation d'ordre n'est pas nécessairement totale, elle peut être partielle
  2. Dans le cas général, on considère que les fonctions multiplicatives sont à valeurs dans un corps commutatif quelconque ou dans un groupe abélien. Cette généralisation ne modifie en rien les résultats du paragraphe
  3. Pour plus de détail voir l'article Groupe cyclique au paragraphe Indicatrice d'Euler
  4. Pour plus de détails, voir le paragraphe Théorème fondamental de l'article Groupe cyclique
  5. Voir l'article Polynôme cyclotomique pour la justification de l'égalité
  6. Voir l'article Corps fini pour plus de détails

Références

  1. G. Villemin, Fonction de Möbius par le site : Nombres : curiosités - théorie - usage
  2. D. Madore Corps finis de l'École Normale Supérieure
  3. F. Badiou Formule d'inversion de Möbius 1-01
  4. a  et b F. Badiou Formule d'inversion de Möbius 1-03
  5. G. C. Rota, On the foundations of combinatorial theory, I : Theory of Möbius functions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw. Gebiete, 2 pp 340-368 (1963)
  6. a  et b Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 75
  7. Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 76
  8. Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 77
  9. Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 80
  10. a  et b F. Badiou, Formule d'inversion de Möbius Séminaire Delange-Pisot-Poitou Théorie des nombres tome 2 Exp. 1 p 02
  11. Ce paragraphe s'inspire du texte : Cours et activités en arithmétiques pour les classes terminales par l'IREM de Marseille p 72
  12. D-J Mercier Polynômes cyclotomiques. Théorème de Wedderburn IUFM de Guadeloupe (2003) p 5
  13. C. Bachoc Cours de code Université Bordeaux I (2004) p 18
  14. R. Rolland Fonction de Möbius - Formule de Rota C.N.R.S. Institut mathématiques de Luminy

Bibliographie

Liens externes

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